Реши задачу и запиши ответ В прямоугольнике EFTM диагонали пересекаются в точке O. LEFO = 31°. Найди ∠FOT. Ответ: ∠FOT =

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник EFO — равнобедренный, так как EO = FO (половины диагоналей).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠FEO = ∠EFO = 31°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол ∠EOF:

\[ \angle EOF = 180° - (\angle EFO + \angle FEO) \]

\[ \angle EOF = 180° - (31° + 31°) \]

\[ \angle EOF = 180° - 62° \]

\[ \angle EOF = 118° \]

Углы ∠EOF и ∠FOT являются смежными, то есть их сумма равна 180°, ИЛИ углы ∠EOF и ∠FOT являются вертикальными углами при пересечении диагоналей, поэтому они равны. В прямоугольнике диагонали пересекаются, и противоположные углы равны. Углы ∠EOF и ∠MTF равны. Углы ∠FOT и ∠EMF равны. Углы ∠EOM и ∠FOT равны как вертикальные.

Следовательно, ∠FOT = ∠EOM.

Найдем угол ∠FOT. Углы ∠EOF и ∠FOT — смежные, поэтому их сумма равна 180°.

\[ \angle FOT = 180° - \angle EOF \]

\[ \angle FOT = 180° - 118° \]

\[ \angle FOT = 62° \]

Другой способ:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, FO = TO = EO = MO.

Рассмотрим треугольник FOT. Он равнобедренный, так как FO = TO.

Углы ∠EFO и ∠TFO равны. Угол ∠EFO = 31°.

Угол ∠EFM = 90° (так как это прямоугольник).

Угол ∠TFM = ∠EFM - ∠EFO = 90° - 31° = 59°.

В равнобедренном треугольнике FOT, углы при основании FT равны:

\[ \angle OFT = \angle OTF \]

Так как FO = TO, то угол ∠FOT будет:

\[ \angle FOT = 180° - (\angle OFT + \angle OTF) \]

Это неверный путь.

Вернемся к первому способу. Углы ∠EOF и ∠FOT являются вертикальными. Это неверно. Углы ∠EOF и ∠FOT являются смежными.

Проверим:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Треугольник EFO равнобедренный (EO = FO), значит ∠FEO = ∠EFO = 31°. Угол ∠EOF = 180° - (31° + 31°) = 180° - 62° = 118°.

Угол ∠FOT является смежным с углом ∠EOF. Сумма смежных углов равна 180°. Поэтому:

\[ \angle FOT = 180° - \angle EOF \]

\[ \angle FOT = 180° - 118° \]

\[ \angle FOT = 62° \]

Ответ: 62