Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. От пристани на берегу реки отправился в путь плот. Через 1 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно, вернулась к первой пристани. К моменту возвращения лодки плот уже проделал путь в 15 км. Найди разницу в скоростях лодки и плота, если расстояние между пристанями составляет 24 км, а скорость течения реки на этом участке составляет 5 км/ч.

Обозначим скорость лодки в стоячей воде как (v_л), а скорость течения реки как (v_р). Из условия задачи известно, что (v_р = 5) км/ч. Плот движется со скоростью течения реки. Время, которое плот был в пути к моменту возвращения лодки к первой пристани, равно времени движения лодки туда и обратно плюс 1 час (время, которое плот плыл до отправления лодки). Пусть (t) — время движения лодки от первой пристани до второй. Тогда общее время движения плота равно (t + 1 + t_обр), где (t_обр) – время движения лодки обратно к первой пристани. Расстояние между пристанями равно 24 км. Время, за которое лодка доплыла от первой пристани ко второй: \[t = \frac{24}{v_л + v_р}\] Время, за которое лодка вернулась обратно к первой пристани: \[t_{обр} = \frac{24}{v_л - v_р}\] Общее время движения плота: \[T = 1 + \frac{24}{v_л + 5} + \frac{24}{v_л - 5}\] За это время плот проплыл 15 км со скоростью течения реки (v_р = 5) км/ч: \[15 = 5 \cdot \left(1 + \frac{24}{v_л + 5} + \frac{24}{v_л - 5}\right)\] Разделим обе части уравнения на 5: \[3 = 1 + \frac{24}{v_л + 5} + \frac{24}{v_л - 5}\] Вычтем 1 из обеих частей: \[2 = \frac{24}{v_л + 5} + \frac{24}{v_л - 5}\] Разделим обе части уравнения на 2: \[1 = \frac{12}{v_л + 5} + \frac{12}{v_л - 5}\] Приведем к общему знаменателю: \[1 = \frac{12(v_л - 5) + 12(v_л + 5)}{(v_л + 5)(v_л - 5)}\] Упростим: \[1 = \frac{12v_л - 60 + 12v_л + 60}{v_л^2 - 25}\] \[1 = \frac{24v_л}{v_л^2 - 25}\] Умножим обе части на (v_л^2 - 25): \[v_л^2 - 25 = 24v_л\] Перенесем все в одну часть: \[v_л^2 - 24v_л - 25 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-24)^2 - 4(1)(-25) = 576 + 100 = 676\] Корни: \[v_л = \frac{-(-24) \pm \sqrt{676}}{2(1)} = \frac{24 \pm 26}{2}\] \[v_{л1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25\] \[v_{л2} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Так как скорость не может быть отрицательной, то (v_л = 25) км/ч. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. Разница между скоростью лодки и плота: \[\Delta v = v_л - v_р = 25 - 5 = 20\] Ответ: 20 км/ч