Реши задачу. Теплоход прошёл по течению реки из пункта А в пункт Б 200 км. После стоянки он вернулся в пункт А. Найди скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длилась 10 ч, а в пункт А теплоход вернулся через 40 ч после отплытия из него. Запиши ответ числом. Скорость течения — км/ч.

Question

Accepted Answer

Обозначим скорость течения реки как \(x\) км/ч.

Скорость теплохода по течению: \(15 + x\) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \(15 - x\) км/ч.

Время движения по течению: \( t_1 = \frac{200}{15 + x} \) ч.

Время движения против течения: \( t_2 = \frac{200}{15 - x} \) ч.

Общее время в пути (без учёта стоянки): \( 40 - 10 = 30 \) ч.

Составим уравнение:

\[ \frac{200}{15 + x} + \frac{200}{15 - x} = 30 \]

Разделим обе части уравнения на 10:

\[ \frac{20}{15 + x} + \frac{20}{15 - x} = 3 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{20(15 - x) + 20(15 + x)}{(15 + x)(15 - x)} = 3 \]

\[ \frac{300 - 20x + 300 + 20x}{225 - x^2} = 3 \]

\[ \frac{600}{225 - x^2} = 3 \]

\[ 600 = 3(225 - x^2) \]

\[ 600 = 675 - 3x^2 \]

\[ 3x^2 = 675 - 600 \]

\[ 3x^2 = 75 \]

\[ x^2 = \frac{75}{3} \]

\[ x^2 = 25 \]

\[ x = \pm 5 \]

Так как скорость течения не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Скорость течения \( x = 5 \) км/ч.

Проверка:

Время по течению: \( \frac{200}{15 + 5} = \frac{200}{20} = 10 \) ч.

Время против течения: \( \frac{200}{15 - 5} = \frac{200}{10} = 20 \) ч.

Общее время в пути: \( 10 + 20 = 30 \) ч.

Общее время с учётом стоянки: \( 30 + 10 = 40 \) ч. Условие задачи выполнено.

Ответ: 5