Реши задачу. В основании наклонной призмы ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD. Точка С является проекцией точки А1 на плоскость (АВС). Найди объём призмы, если её меньшая диагональ равна диагонали её основания, а боковое ребро равно 6√2. Запиши в поле ответа верное число.

Разбор задачи:

Эта задача на нахождение объема наклонной призмы. Нам дано, что в основании лежит квадрат ABCD, и точка C является проекцией точки A1 на плоскость основания.

Дано:

• Призма наклонная ABCDA₁B₁C₁D₁.
• Основание — квадрат ABCD.
• C — проекция A₁ на плоскость (ABC).
• Меньшая диагональ призмы = диагональ основания.
• Боковое ребро AA₁ = 6√2.

Найти:

• Объем призмы (V).

Решение:

Объем призмы вычисляется по формуле: V = Sосн * h, где S_осн — площадь основания, а h — высота призмы.

1. Площадь основания (S_осн):

   Поскольку основание — квадрат ABCD, его диагональ AC равна диагонали BD. Обозначим сторону квадрата за 'a'. Тогда диагональ основания dосн = a√2.

2. Высота призмы (h):

   Точка C является проекцией A₁ на плоскость основания. Это означает, что отрезок A₁C перпендикулярен плоскости основания. Следовательно, h = A1C.

3. Меньшая диагональ призмы:

   У призмы есть диагонали, соединяющие вершины нижнего основания с вершинами верхнего. Например, A₁C, B₁D, C₁A, D₁B. Меньшая диагональ призмы, согласно условию, равна диагонали основания. Значит, A1C = a√2. Так как h = A1C, то h = a√2.

4. Связь между боковым ребром и высотой:

   Рассмотрим треугольник AA₁C. В нем угол ACC' (где C' - проекция A1 на плоскость основания, что и есть точка C) равен 90 градусов. То есть, AC перпендикулярно A1C. Это значит, что треугольник AA₁C — прямоугольный с гипотенузой AA₁.

   По теореме Пифагора: AA12 = A1C2 + AC2.

   Мы знаем, что AA1 = 6√2, AC = a√2 (диагональ основания), а A1C = h = a√2.

   Подставляем значения:

   (6√2)2 = (a√2)2 + (a√2)2

   36 * 2 = (a2 * 2) + (a2 * 2)

   72 = 2a2 + 2a2

   72 = 4a2

   a2 = 72 / 4 = 18

   a = √18 = 3√2.

5. Вычисляем объем:

   Теперь, когда мы знаем a, мы можем найти площадь основания и высоту:

   • Sосн = a2 = 18.
   • h = a√2 = (3√2) * √2 = 3 * 2 = 6.

   Объем призмы: V = Sосн * h = 18 * 6 = 108.

Ответ: 108