Реши задачу. В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами АВ = 4 и ВС = 9. Площадь грани SCD равна 82. Найди объём пирамиды, если её боковые грани SAB и SBC перпендикулярны плоскости основания.

Решение:

Обозначим высоту пирамиды как \( h \). В основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD со сторонами \( AB = 4 \) и \( BC = 9 \). Площадь грани SCD равна 82.

Так как основание — прямоугольник, то \( AB = CD = 4 \) и \( BC = AD = 9 \). Площадь грани SCD вычисляется по формуле \( S_{SCD} = \frac{1}{2} \times CD \times h_{SCD} \), где \( h_{SCD} \) — высота грани SCD, проведённая из вершины S к основанию CD.

По условию, \( S_{SCD} = 82 \). Подставим известные значения:

\[ 82 = \frac{1}{2} \times 4 \times h_{SCD} \]\[ 82 = 2 \times h_{SCD} \]\[ h_{SCD} = \frac{82}{2} = 41 \]

Поскольку боковые грани SAB и SBC перпендикулярны плоскости основания, высота пирамиды \( h \) является высотой грани SAB, проведённой из вершины S к основанию AB, и высотой грани SBC, проведённой из вершины S к основанию BC. Это означает, что высота пирамиды \( h \) совпадает с высотой боковых граней, проведённой из вершины S, если она перпендикулярна стороне основания. Однако, из условия задачи, что грани SAB и SBC перпендикулярны плоскости основания, следует, что высота пирамиды, опущенная из вершины S на основание, будет совпадать с высотой одной из граней. Конкретнее, если вершина S проецируется в точку O на плоскость основания, и SO перпендикулярно плоскости основания, то \( SO = h \).

Рассмотрим грань SCD. Высота \( h_{SCD} = 41 \) является высотой треугольника SCD, проведённой к основанию CD. Если предположить, что вершина S находится над центром основания, то высота грани SCD будет равна высоте пирамиды. Однако, из условия перпендикулярности граней SAB и SBC к основанию, следует, что высота пирамиды (проекция S на основание) лежит на линии, перпендикулярной AB и BC. Это возможно, если высота пирамиды равна высоте одной из граней. В данной задаче, если грани SAB и SBC перпендикулярны основанию, то высота пирамиды \( h \) является расстоянием от S до плоскости основания. В случае, когда боковые грани перпендикулярны основанию, высота пирамиды может быть связана с высотой грани. Из условия \( S_{SCD} = 82 \) и \( CD = 4 \), мы нашли высоту грани SCD, проведённую к основанию CD, как \( h_{SCD} = 41 \).

Если грань SBC перпендикулярна основанию, то высота пирамиды \( h \) будет равна расстоянию от S до плоскости основания. В данной конфигурации, когда грани SAB и SBC перпендикулярны основанию, вершина S проецируется на отрезок, являющийся общей высотой этих граней. Более точно, если S проектируется в точку O, то SO = h. Из условия перпендикулярности граней SAB и SBC, следует, что \( h_{SCD} = 41 \) это высота треугольника SCD, проведённая к основанию CD. Объем пирамиды \( V = \frac{1}{3} \times S_{base} \times h \).

Площадь основания \( S_{base} = AB \times BC = 4 \times 9 = 36 \).

Из условия, что боковые грани SAB и SBC перпендикулярны плоскости основания, следует, что высота пирамиды \( h \) совпадает с высотой грани SCD, проведённой к основанию CD. То есть, \( h = h_{SCD} = 41 \).

Теперь найдём объём пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \times S_{base} \times h = \frac{1}{3} \times 36 \times 41 \]\[ V = 12 \times 41 \]\[ V = 492 \]

Ответ: Объём пирамиды равен 492.