Реши задачу. В равнобедренном треугольнике GQH с основанием GH и ∠GHQ = 56° проведена биссектриса QP так, что ∠GQP = 34°, a GP = 6 см 8 мм. Определи величину углов Р QH и QGP, а также длину стороны GH. Запиши ответ числами. ∠PQH = ZQGP = GH = CM MM

Определим углы и длину стороны треугольника GQH.

1. Угол ∠HQG равен 56°, так как GQH - равнобедренный треугольник с основанием GH, углы при основании равны.
2. QP - биссектриса угла ∠HQG, следовательно, ∠PQH = ∠HQG / 2 = 56° / 2 = 28°.
3. ∠QGP = 34° по условию.
4. Рассмотрим треугольник GPQ. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠GPQ = 180° - ∠PQH - ∠QGP = 180° - 28° - 34° = 118°.
5. В равнобедренном треугольнике GQH, GQ = HQ.
6. GP = 6 см 8 мм = 68 мм.
7. Рассмотрим треугольник HPQ. ∠HPQ = 180° - ∠GPQ = 180° - 118° = 62°. ∠PHQ = 28°. Следовательно, ∠PQH = 180° - ∠HPQ - ∠PHQ = 180° - 62° - 28° = 90°.
8. В треугольнике HPQ, QP - высота, то есть этот треугольник прямоугольный.
9. Рассмотрим треугольник GPQ. По теореме синусов: $$ \frac{GP}{\sin ∠PQH} = \frac{PQ}{\sin ∠QGP} $$, следовательно, $$ PQ = \frac{GP \cdot \sin ∠QGP}{\sin ∠PQH} = \frac{68 \cdot \sin 34°}{\sin 28°} $$.
10. Рассмотрим треугольник HPQ. По теореме синусов: $$ \frac{HQ}{\sin ∠HPQ} = \frac{PQ}{\sin ∠PHQ} $$, следовательно, $$ HQ = \frac{PQ \cdot \sin ∠HPQ}{\sin ∠PHQ} = \frac{\frac{68 \cdot \sin 34°}{\sin 28°} \cdot \sin 62°}{\sin 28°} = \frac{68 \cdot \sin 34° \cdot \sin 62°}{\sin^2 28°} $$.
11. GH = GP + PH. По теореме синусов: $$ \frac{PH}{\sin ∠PQH} = \frac{PQ}{\sin ∠PHQ} $$, следовательно, $$ PH = \frac{PQ \cdot \sin ∠PQH}{\sin ∠PHQ} = \frac{\frac{68 \cdot \sin 34°}{\sin 28°} \cdot \sin 28°}{\sin 28°} = \frac{68 \cdot \sin 34°}{\sin 28°}$$.
12. GH = 68 + \frac{68 \cdot \sin 34°}{\sin 28°} ≈ 68 + \frac{68 \cdot 0.559}{0.469} ≈ 68 + 81.2 ≈ 149.2 \text{ мм}.
13. 149.2 мм = 14 см 9.2 мм. Округлим до 14 см 9 мм.

Запишем ответ:

1. ∠PQH = <strong>28</strong>°
2. ∠QGP = <strong>34</strong>°
3. GH = <strong>14</strong> см <strong>9</strong> мм

<strong>Ответ:</strong> <strong>∠PQH = 28°, ∠QGP = 34°, GH = 14 см 9 мм</strong>