Реши задачу. В равнобедренном треугольнике MNK с основанием MK проведён отрезок NT так, что T ∈ MK, MT = TN и TK = NK. Найди значения углов 1, 2, 3 и 4.

Рассмотрим задачу по геометрии. 1. Анализ условия: У нас есть равнобедренный треугольник $$MNK$$ с основанием $$MK$$. Отрезок $$NT$$ проведен так, что $$MT = TN$$ и $$TK = NK$$. 2. Обозначения: Пусть $$\angle 4 = \alpha$$. Так как $$MT = TN$$, треугольник $$MTN$$ – равнобедренный, и следовательно, $$\angle MNT = \angle 4 = \alpha$$. Тогда $$\angle 2$$ является внешним углом треугольника $$MTN$$, и он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $$\angle 2 = \angle 4 + \angle MNT = \alpha + \alpha = 2\alpha$$. 3. Треугольник NKТ: Так как $$TK = NK$$, треугольник $$NKT$$ – равнобедренный, и следовательно, $$\angle 1 = \angle 2 = 2\alpha$$. 4. Треугольник MNK: Треугольник $$MNK$$ – равнобедренный с основанием $$MK$$, значит, $$\angle M = \angle K = \alpha$$. Сумма углов в треугольнике $$MNK$$ равна 180 градусам: $$\angle N + \angle M + \angle K = 180^{\circ}$$. Угол $$\angle N$$ состоит из углов $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$. Значит, $$\angle 1 + \angle 3 = 2\alpha + \angle 3$$. 5. Уравнение: Подставим известные углы в уравнение для суммы углов треугольника $$MNK$$: $$(2\alpha + \angle 3) + \alpha + \alpha = 180^{\circ}$$. Отсюда $$4\alpha + \angle 3 = 180^{\circ}$$. Также, $$\angle 3 = 180^{\circ} - 4\alpha$$. 6. Сумма углов MNT и KNT: Сумма углов $$\angle 1 + \angle 3 = 180 - 4 \alpha + 2\alpha = 180 - 2\alpha$$. Таким образом, получаем уравнение: $$\alpha + 2\alpha + 2\alpha + \angle 3 = 180^{\circ}$$, следовательно $$4 \alpha + (180 - 4 \alpha) = 180$$. 7. Угол 1 и угол 2: Так как угол $$MTN$$ равен $$\alpha$$, а угол $$NTK$$ равен $$2\alpha$$, то весь угол $$M = \alpha$$, весь угол $$K$$ тоже равен $$\alpha$$. Следовательно угол $$N = 180 - 2\alpha$$. $$\angle 1 = 2\alpha$$ и $$\angle 3 = 180 - 4\alpha$$. 8. Свойства треугольника MNK: $$\angle N = \angle 1 + \angle 3 = 36^{\circ} + 108^{\circ} = 144^{\circ}$$, а углы $$\angle M = \angle K = 18^{\circ}$$. Это не сходится, значит нужно другое решение. 9. Решение: $$\angle 4 = 36^{\circ}$$ (т.к. $$MNK$$ равнобедренный) $$\angle 2 = 2 * 36^{\circ} = 72^{\circ}$$ (т.к. $$MTN$$ равнобедренный) $$\angle 1 = 72^{\circ}$$ (т.к. $$NKT$$ равнобедренный) $$\angle 3 = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 72^{\circ}) = 36^{\circ}$$ Ответ: $$\angle 1 = 72$$\circ$$ $$\angle 2 = 72$$\circ$$ $$\angle 3 = 36$$\circ$$ $$\angle 4 = 36$$\circ$$