Решим неравенство: 3^x + 243 / 3^x - 84 <= 0

Пошаговое решение:

1. Преобразуем неравенство:\[\frac{3^x + 243}{3^x - 84} \leq 0\]
2. Введем замену: \( t = 3^x \). Тогда неравенство примет вид:\[\frac{t + 243}{t - 84} \leq 0\]
3. Определим, при каких значениях числитель и знаменатель равны нулю:\[t + 243 = 0 \Rightarrow t = -243\]\[t - 84 = 0 \Rightarrow t = 84\]
4. Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки выражения на каждом интервале:
   Так как \( t = 3^x \), то \( t > 0 \). Следовательно, рассматривать будем интервал \( (0; +\infty) \).
5. Решением неравенства будет интервал, где выражение меньше или равно нулю, то есть \( t \in (0; 84] \).
6. Вернемся к исходной переменной: \( 3^x \leq 84 \).
7. Прологарифмируем обе части по основанию 3:\[x \leq \log_3{84}\]
8. Так как \( 3^4 = 81 \), то \( \log_3{84} \approx 4 \).

Ответ: \( x \leq \log_3{84} \)