Решим уравнение 2 cos² x + 2 sin 2x = 3.

Решение:

1. Упростим уравнение, используя формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
2. Подставим в исходное уравнение: \( 2 \cos^2 x + 2(2 \sin x \cos x) = 3 \).
3. Перегруппируем члены: \( 2 \cos^2 x + 4 \sin x \cos x - 3 = 0 \).
4. Заменим \( 3 \) на \( 3(\sin^2 x + \cos^2 x) \): \( 2 \cos^2 x + 4 \sin x \cos x - 3(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 \).
5. Раскроем скобки: \( 2 \cos^2 x + 4 \sin x \cos x - 3 \sin^2 x - 3 \cos^2 x = 0 \).
6. Приведём подобные члены: \( -\cos^2 x + 4 \sin x \cos x - 3 \sin^2 x = 0 \).
7. Умножим на -1: \( \cos^2 x - 4 \sin x \cos x + 3 \sin^2 x = 0 \).
8. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (предполагая \( \cos x \neq 0 \)): \( 1 - 4 \frac{\sin x}{\cos x} + 3 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0 \).
9. Используем \( \operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} \): \( 1 - 4 \operatorname{tg} x + 3 \operatorname{tg}^2 x = 0 \).
10. Решим квадратное уравнение относительно \( \operatorname{tg} x \): \( 3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 1 = 0 \).
11. Пусть \( y = \operatorname{tg} x \), тогда \( 3y^2 - 4y + 1 = 0 \).
12. Найдём дискриминант: \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \).
13. Найдём корни: \( y_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \). \( y_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
14. Следовательно, \( \operatorname{tg} x = 1 \) или \( \operatorname{tg} x = \frac{1}{3} \).
15. Решения: \( x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
16. И \( x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
17. Проверим, что \( \cos x \neq 0 \) для этих решений. Если \( \cos x = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi m \). В этом случае \( \sin x = \pm 1 \) и \( \sin 2x = 0 \). Уравнение примет вид \( 2(0)^2 + 2(0) = 3 \), то есть \( 0 = 3 \), что неверно. Значит, \( \cos x \neq 0 \) для наших решений.

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).