Решить д. у. $$y' + \sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}} = 0$$

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

1. Перепишем уравнение, выделив $$y'$$: $$y' = -\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}$$
2. Заменим $$y'$$ на $$\frac{dy}{dx}$$: $$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{1-y^2}{1-x^2}}$$
3. Разделим переменные, перенеся все выражения с $$y$$ в одну сторону, а с $$x$$ — в другую: $$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$
4. Проинтегрируем обе части уравнения: $$\int \frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = -\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$
5. Вычислим интегралы: \( \arcsin(y) = -\arcsin(x) + C \), где $$C$$ — произвольная постоянная.
6. Выразим $$y$$: $$y = \sin(-\arcsin(x) + C)$$
7. Используя свойство синуса $$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$, а также $$\sin(-a) = -\sin a$$ и $$\cos(a) = \sin(\frac{\pi}{2} - a)$$, можно преобразовать выражение: $$y = \sin(C - \arcsin(x))$$
8. Пусть $$C = C_1 + \frac{\pi}{2}$$, тогда $$y = \sin(\frac{\pi}{2} + C_1 - \arcsin(x)) = \cos(C_1 - \arcsin(x))$$
9. Если $$C = k\pi$$, то $$y = \sin(-\arcsin(x) + k\pi)$$.

Ответ: $$y = \sin(C - \arcsin(x))$$.