Решить дифференциальное уравнение: y' = x/y^2, y(1)=1

Решение:

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

\( y' = \frac{dy}{dx} \)

\( \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y^2} \)

Разделим переменные:

\( y^2 dy = x dx \)

Проинтегрируем обе части:

\[ \int y^2 dy = \int x dx \]

\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} + C \]

Теперь используем начальное условие \( y(1) = 1 \) для нахождения константы \( C \).

\( \frac{(1)^3}{3} = \frac{(1)^2}{2} + C \)

\[ \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + C \]

\[ C = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6} \]

Подставим значение \( C \) обратно в уравнение:

\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{6} \]

Умножим обе части на 3:

\[ y^3 = \frac{3x^2}{2} - \frac{3}{6} \]

\[ y^3 = \frac{3x^2}{2} - \frac{1}{2} \]

Выразим \( y \):

\[ y = \sqrt[3]{\frac{3x^2 - 1}{2}} \]

Ответ: \( y = \sqrt[3]{\frac{3x^2 - 1}{2}} \).