Решить дифференциальные уравнения II-го порядка понижением порядка: 3y" = 2yy'

Решение:

Данное уравнение относится ко второму типу уравнений, допускающих понижение порядка. Оно не содержит явно независимую переменную \( x \).

1. Сделаем замену \( y' = p \), тогда \( y'' = p \frac{dp}{dy} \).
2. Подставим в исходное уравнение: \[ 3p \frac{dp}{dy} = 2yp \]
3. Разделим на \( p \) (предполагая \( p \neq 0 \), случай \( y'=0 \) рассматривается отдельно): \[ 3 \frac{dp}{dy} = 2y \]
4. Это уравнение с разделяющимися переменными: \[ 3 dp = 2y dy \]
5. Проинтегрируем обе части: \[ \int 3 dp = \int 2y dy \] \[ 3p = y^2 + C_1 \]
6. Вернёмся к замене \( p = y' \): \[ 3y' = y^2 + C_1 \]
7. Снова разделим переменные: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + C_1}{3} \] \[ \frac{3 dy}{y^2 + C_1} = dx \]
8. Проинтегрируем обе части. Рассмотрим два случая: \( C_1 = 0 \) и \( C_1 \neq 0 \).
9. Случай 1: \( C_1 = 0 \)

\( 3y' = y^2 \)

\[ \frac{3 dy}{y^2} = dx \]

Интегрируем:

\[ \int \frac{3}{y^2} dy = \int dx \]

\[ -\frac{3}{y} = x + C_2 \]

\[ y = -\frac{3}{x + C_2} \]

Также рассмотрим случай \( y = 0 \) (частное решение, полученное при делении на \( y^2 \)).

10. Случай 2: \( C_1 \neq 0 \)

Пусть \( C_1 > 0 \) (для простоты обозначим \( C_1 = k^2 \)).

\[ \int \frac{3 dy}{y^2 + k^2} = \int dx \]

\[ 3 \cdot \frac{1}{k} \arctan{\left(\frac{y}{k}\right)} = x + C_2 \]

\[ \frac{3}{\sqrt{C_1}} \arctan{\left(\frac{y}{\sqrt{C_1}}\right)} = x + C_2 \]

\[ \arctan{\left(\frac{y}{\sqrt{C_1}}\right)} = \frac{\sqrt{C_1}}{3} (x + C_2) \]

\[ \frac{y}{\sqrt{C_1}} = \tan{\left(\frac{\sqrt{C_1}}{3} (x + C_2)\right)} \]

\[ y = \sqrt{C_1} \tan{\left(\frac{\sqrt{C_1}}{3} (x + C_2)\right)} \]

Если \( C_1 < 0 \) (пусть \( C_1 = -k^2 \)), то получается:

\[ \int \frac{3 dy}{y^2 - k^2} = \int dx \]

\[ 3 \cdot \frac{1}{2k} \ln{\left|\frac{y-k}{y+k}\right|} = x + C_2 \]

\[ \frac{3}{2\sqrt{-C_1}} \ln{\left|\frac{y-\sqrt{-C_1}}{y+\sqrt{-C_1}}\right|} = x + C_2 \]

Примечание: В исходной задаче \( y'' \) — вторая производная, \( y' \) — первая производная. Решение представлено в общем виде. Конкретные значения \( C_1 \) и \( C_2 \) определяются начальными условиями, которых в задании нет.

Ответ: Общее решение имеет вид, зависящий от знака \( C_1 \), с участием арктангенса, логарифма или простых функций. Частное решение \( y = 0 \) также является решением.