Решить ДУ: y'' = (2x - 1)^3

Решение:

Чтобы решить дифференциальное уравнение \( y'' = (2x - 1)^3 \), нужно проинтегрировать обе части дважды.

1. Интегрируем первый раз:

\[ y' = \int (2x - 1)^3 dx \]

Сделаем замену \( u = 2x - 1 \), тогда \( du = 2dx \), или \( dx = \frac{1}{2}du \).

\[ y' = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C_1 = \frac{1}{8} u^4 + C_1 \]

Подставляем обратно \( u = 2x - 1 \):

\[ y' = \frac{1}{8} (2x - 1)^4 + C_1 \]

2. Интегрируем второй раз:

\[ y = \int \left( \frac{1}{8} (2x - 1)^4 + C_1 \right) dx \]

Разбиваем на два интеграла:

\[ y = \int \frac{1}{8} (2x - 1)^4 dx + \int C_1 dx \]

Для первого интеграла снова используем замену \( u = 2x - 1 \), \( dx = \frac{1}{2}du \):

\[ \frac{1}{8} \int u^4 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{16} \int u^4 du = \frac{1}{16} \cdot \frac{u^5}{5} + C_2 = \frac{1}{80} u^5 + C_2 \]

Подставляем обратно \( u = 2x - 1 \):

\[ \frac{1}{80} (2x - 1)^5 + C_2 \]

Второй интеграл:

\[ \int C_1 dx = C_1 x + C_3 \]

Складываем результаты и объединяем константы \( C_2 + C_3 \) в новую константу \( C \):

\[ y = \frac{1}{80} (2x - 1)^5 + C_1 x + C_2 \]

Ответ: \( y = \frac{1}{80} (2x - 1)^5 + C_1 x + C_2 \).