Решить ДУ: y' - y/x = 1/x^2

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида \( y' + p(x) y = q(x) \).

В нашем случае \( p(x) = -\frac{1}{x} \) и \( q(x) = \frac{1}{x^2} \).

Для решения используем метод интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель \( μ(x) \) находится по формуле:

\[ \mu(x) = e^{\int p(x) dx} \]\[ \int p(x) dx = \int -\frac{1}{x} dx = -\ln|x| = \ln|x|^{-1} = \ln\frac{1}{|x|} \]\[ \mu(x) = e^{\ln\frac{1}{|x|}} = \frac{1}{|x|} \]

Для простоты возьмём \( x > 0 \), тогда \( \mu(x) = \frac{1}{x} \).

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель:

\[ \frac{1}{x} y' - \frac{1}{x^2} y = \frac{1}{x^3} \]

Левая часть уравнения является производной от произведения \( y \cdot \mu(x) \):

\[ \frac{d}{dx} \left( y \cdot \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x^3} \]

Проинтегрируем обе части:

\[ \int \frac{d}{dx} \left( \frac{y}{x} \right) dx = \int \frac{1}{x^3} dx \]\[ \frac{y}{x} = \int x^{-3} dx \]\[ \frac{y}{x} = \frac{x^{-2}}{-2} + C \]\[ \frac{y}{x} = -\frac{1}{2x^2} + C \]

Выразим \( y \):

\[ y = x \left( -\frac{1}{2x^2} + C \right) \]\[ y = -\frac{1}{2x} + Cx \]

Ответ: \( y = Cx - \frac{1}{2x} \).