Решить графически неравенства: 1) $\left(\frac{1}{3}\right)^x\ge x+1$; 2) $\left(\frac{1}{2}\right)^x<x-\frac{1}{2}$; 3) $2^x\le 9-\frac{1}{3}x$; 4) $3^x>\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решить графически неравенства: 1) $\left(\frac{1}{3}\right)^x\ge x+1$; 2)…$ Фото задания

Решить графически неравенства: 1) $\left(\frac{1}{3}\right)^x\ge x+1$; 2) $\left(\frac{1}{2}\right)^x<x-\frac{1}{2}$; 3) $2^x\le 9-\frac{1}{3}x$; 4) $3^x>\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$.

Accepted Answer

При графическом решении сравниваем графики левой и правой частей: неравенство выполняется там, где график левой части расположен выше графика правой части (для строгого неравенства точка пересечения не включается).

Графики $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$ и $y=x+1$ пересекаются при $x=0$: обе функции равны 1. Первая убывает, вторая возрастает, поэтому неравенство верно левее точки пересечения и в самой точке.
Ответ: $x\le 0$.
Графики $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ и $y=x-\frac{1}{2}$ пересекаются при $x=1$: обе функции равны $\frac{1}{2}$. Экспонента убывает, а линейная функция возрастает, поэтому строгое неравенство выполняется правее пересечения.
Ответ: $x>1$.
Графики $y=2^x$ и $y=9-\frac{x}{3}$ пересекаются при $x=3$: обе функции равны 8. Первая функция возрастает, вторая убывает, поэтому неравенство выполняется при значениях левее точки пересечения и в ней.
Ответ: $x\le 3$.
Сравним графики $y=3^x$ и $y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}$. При $x\le\frac{1}{4}$ правая часть неположительна, а $3^x>0$. При $x>\frac{1}{4}$ экспонента расположена выше прямой: уже в точке $x=\frac{1}{4}$ значение экспоненты больше 1, тогда как значение прямой равно 0; далее экспонента возрастает быстрее прямой. Пересечений нет.
Ответ: $x\in\mathbb{R}$.

Решить графически неравенства: 1) \(\left(\frac{1}{3}\right)^x\ge x+1\); 2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^x<x-\frac{1}{2}\); 3) \(2^x\le 9-\frac{1}{3}x\); 4) \(3^x>\frac{2}{3}x-\frac{1}{6}\).

Ответ: