Решить графически Систему 1) xy=8, y-x=2.

Дано:

• \[ \begin{cases} xy = 8 \\ y - x = 2 \end{cases} \]

Решение:

Для решения системы графически построим графики двух уравнений:

1. График уравнения xy = 8:

• Это гипербола.
• Уравнение можно переписать как y = 8/x.
• Гипербола проходит через I и III квадранты, так как произведение x и y положительно.
• Асимптоты: оси координат (x=0, y=0).
• Найдем несколько точек:
• (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)
• (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1)

2. График уравнения y - x = 2:

• Это уравнение прямой.
• Перепишем его в виде y = x + 2.
• Найдем две точки для построения прямой:
• Если x = 0, то y = 0 + 2 = 2. Точка (0, 2).
• Если y = 0, то 0 = x + 2, x = -2. Точка (-2, 0).

3. Нахождение точек пересечения графиков:

Точки, в которых графики гиперболы y = 8/x и прямой y = x + 2 пересекаются, являются решениями системы уравнений.

Построив эти графики, мы видим, что они пересекаются в двух точках:

• Одна точка находится в I квадранте, примерно в (2, 4).
• Другая точка находится в III квадранте, примерно в (-4, -2).

4. Точное решение (для проверки):

Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:

• \[ x(x+2) = 8 \]
• \[ x^2 + 2x = 8 \]
• \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение (например, по теореме Виета или через дискриминант):
• Сумма корней = -2, произведение корней = -8.
• Корни: x₁ = 2, x₂ = -4.
• Теперь найдем соответствующие значения y, подставив x в уравнение прямой y = x + 2:
• Если x₁ = 2, то y₁ = 2 + 2 = 4. Точка (2, 4).
• Если x₂ = -4, то y₂ = -4 + 2 = -2. Точка (-4, -2).

Графическое решение подтверждает эти результаты.

Ответ: Система имеет два решения: (2, 4) и (-4, -2).