Решить неравенства: √x−5 <4 √6x-9 <x √x²-3x+2≥-2

Решим каждое неравенство по отдельности.

1. $$√{x-5} < 4$$

   ОДЗ: $$x - 5 ≥ 0$$, то есть $$x ≥ 5$$.

   Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:

   $$x - 5 < 16$$

   $$x < 21$$

   Учитывая ОДЗ, получаем: $$5 ≤ x < 21$$.

   Интервал: $$[5; 21)$$.

2. $$√{6x-9} < x$$

   ОДЗ: $$6x - 9 ≥ 0$$, то есть $$x ≥ \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$$.

   Так как $$√{6x-9} ≥ 0$$, то $$x > 0$$.

   Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:

   $$6x - 9 < x^2$$

   $$x^2 - 6x + 9 > 0$$

   $$(x - 3)^2 > 0$$

   $$x ≠ 3$$

   Учитывая ОДЗ, получаем: $$x ∈ [1.5; 3) ∪ (3; +∞)$$.

3. $$√{x^2-3x+2} ≥ -2$$

   Так как квадратный корень всегда неотрицателен, то неравенство выполняется для всех x, при которых выражение под корнем имеет смысл:

   $$x^2 - 3x + 2 ≥ 0$$

   Найдем корни квадратного трехчлена: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$

   По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 3, x_1 \cdot x_2 = 2$$. Корни: $$x_1 = 1, x_2 = 2$$.

   Разложим квадратный трехчлен на множители: $$(x - 1)(x - 2) ≥ 0$$

   Метод интервалов:

       +          -           +
   ----(1)--------(2)--------> x
   

   Решение: $$x ∈ (-∞; 1] ∪ [2; +∞)$$.

Ответ:

1. $$x ∈ [5; 21)$$.
2. $$x ∈ [1.5; 3) ∪ (3; +∞)$$.
3. $$x ∈ (-∞; 1] ∪ [2; +∞)$$.