2. Решить неравенства: 1) (\sqrt{5})^{x-6} < \frac{1}{5}; 2) (1\frac{2}{7})^{x^2-4} \le 1; 3) log_{\frac{1}{3}} (x-5) > 1; 4) log_3 (x^2+6x-7) < 2; 5) log_{\frac{1}{2}} (x-3)+log_{\frac{1}{2}} (9-x) \ge -3; 6) 4^x - 18 \cdot 2^x + 32 \ge 0; 7) log_3^2 x - 2 log_3 x \le 3; 8) log_{0,7}^2 x - 3 \le 2 log_{0,7} x

Решим каждое из неравенств:

1) $$(\sqrt{5})^{x-6} < \frac{1}{5}$$

Преобразуем обе части неравенства к основанию 5:

$$(5^{\frac{1}{2}})^{x-6} < 5^{-1}$$

$$5^{\frac{x-6}{2}} < 5^{-1}$$

$$\frac{x-6}{2} < -1$$

$$x-6 < -2$$

$$x < 4$$

Ответ: $$x < 4$$

2) $$(1\frac{2}{7})^{x^2-4} \le 1$$

Преобразуем $$1\frac{2}{7}$$ в неправильную дробь: $$1\frac{2}{7} = \frac{9}{7}$$

$$\left(\frac{9}{7}\right)^{x^2-4} \le 1$$

$$\left(\frac{9}{7}\right)^{x^2-4} \le \left(\frac{9}{7}\right)^{0}$$

Поскольку основание больше 1, то:

$$x^2 - 4 \le 0$$

$$(x-2)(x+2) \le 0$$

Решением будет интервал $$[-2, 2]$$

Ответ: $$[-2, 2]$$

3) $$log_{\frac{1}{3}} (x-5) > 1$$

По определению логарифма:

$$x-5 > 0$$

$$x > 5$$

$$x-5 < (\frac{1}{3})^1$$

$$x-5 < \frac{1}{3}$$

$$x < 5 + \frac{1}{3}$$

$$x < \frac{16}{3}$$

Совмещаем условия $$x > 5$$ и $$x < \frac{16}{3}$$

$$5 < x < \frac{16}{3}$$ или $$5 < x < 5\frac{1}{3}$$

Ответ: $$(5, \frac{16}{3})$$

4) $$log_3 (x^2+6x-7) < 2$$

Определим область определения:

$$x^2+6x-7 > 0$$

$$(x+7)(x-1) > 0$$

$$x < -7$$ или $$x > 1$$

Теперь решим неравенство:

$$x^2+6x-7 < 3^2$$

$$x^2+6x-7 < 9$$

$$x^2+6x-16 < 0$$

$$(x+8)(x-2) < 0$$

$$-8 < x < 2$$

Учитывая область определения, получим:

$$-8 < x < -7$$ или $$1 < x < 2$$

Ответ: $$(-8, -7) \cup (1, 2)$$

5) $$log_{\frac{1}{2}} (x-3)+log_{\frac{1}{2}} (9-x) \ge -3$$

Область определения:

$$x-3 > 0$$ и $$9-x > 0$$

$$x > 3$$ и $$x < 9$$

$$3 < x < 9$$

Сумма логарифмов:

$$log_{\frac{1}{2}} [(x-3)(9-x)] \ge -3$$

$$(x-3)(9-x) \le (\frac{1}{2})^{-3}$$

$$(x-3)(9-x) \le 8$$

$$9x - x^2 - 27 + 3x \le 8$$

$$-x^2 + 12x - 35 \le 0$$

$$x^2 - 12x + 35 \ge 0$$

$$(x-5)(x-7) \ge 0$$

$$x \le 5$$ или $$x \ge 7$$

Учитывая область определения $$3 < x < 9$$, получим:

$$3 < x \le 5$$ или $$7 \le x < 9$$

Ответ: $$(3, 5] \cup [7, 9)$$

6) $$4^x - 18 \cdot 2^x + 32 \ge 0$$

Пусть $$y = 2^x$$, тогда $$y^2 = 4^x$$

$$y^2 - 18y + 32 \ge 0$$

$$(y-2)(y-16) \ge 0$$

$$y \le 2$$ или $$y \ge 16$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$2^x \le 2$$ или $$2^x \ge 16$$

$$x \le 1$$ или $$x \ge 4$$

Ответ: $$(-\infty, 1] \cup [4, +\infty)$$

7) $$log_3^2 x - 2 log_3 x \le 3$$

Пусть $$y = log_3 x$$

$$y^2 - 2y \le 3$$

$$y^2 - 2y - 3 \le 0$$

$$(y-3)(y+1) \le 0$$

$$-1 \le y \le 3$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$-1 \le log_3 x \le 3$$

$$3^{-1} \le x \le 3^3$$

$$\frac{1}{3} \le x \le 27$$

Ответ: $$[\frac{1}{3}, 27]$$

8) $$log_{0,7}^2 x - 3 \le 2 log_{0,7} x$$

Пусть $$y = log_{0,7} x$$

$$y^2 - 2y - 3 \le 0$$

$$(y-3)(y+1) \le 0$$

$$-1 \le y \le 3$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$-1 \le log_{0,7} x \le 3$$

$$(0,7)^3 \le x \le (0,7)^{-1}$$

$$0,343 \le x \le \frac{1}{0,7}$$

$$0,343 \le x \le \frac{10}{7}$$

Ответ: $$[0.343, \frac{10}{7}]$$