Решить неравенства: 1. √x+2>-5 2. √x−5 <4 3.√6x-9 <x 4.√x²-3x+2≥-2

Решим данные неравенства:

1. $$ \sqrt[3]{x+2} \ge -5 $$

   Так как корень третьей степени может быть и отрицательным, и положительным, возведем обе части неравенства в куб:

   $$ x+2 \ge (-5)^3 $$ $$ x+2 \ge -125 $$ $$ x \ge -127 $$

   Ответ: $$ x \ge -127 $$

2. $$ \sqrt{x-5} < 4 $$

   ОДЗ: $$ x-5 \ge 0 $$, значит, $$ x \ge 5 $$.

   Возведем обе части неравенства в квадрат (обе части неотрицательны):

   $$ x-5 < 16 $$ $$ x < 21 $$

   С учетом ОДЗ получаем:

   $$ 5 \le x < 21 $$

   Ответ: $$ 5 \le x < 21 $$

3. $$ \sqrt{6x-9} < x $$

   ОДЗ: $$ 6x-9 \ge 0 $$, значит, $$ x \ge \frac{9}{6} = \frac{3}{2} $$.

   Возведем обе части неравенства в квадрат (обе части неотрицательны):

   $$ 6x-9 < x^2 $$ $$ x^2 - 6x + 9 > 0 $$ $$ (x-3)^2 > 0 $$

   Квадрат всегда неотрицателен, и равен нулю только при $$ x = 3 $$. Значит, решением будет любое $$ x $$, кроме $$ x=3 $$.

   С учетом ОДЗ получаем:

   $$ x \ge \frac{3}{2}, x
   e 3 $$

   Ответ: $$ x \ge \frac{3}{2}, x
   e 3 $$

4. $$ \sqrt{x^2 - 3x + 2} \ge -2 $$

   ОДЗ: $$ x^2 - 3x + 2 \ge 0 $$.

   Подкоренное выражение всегда неотрицательно, а значит, корень тоже всегда неотрицателен, а следовательно, всегда больше $$ -2 $$. То есть неравенство верно для любых $$ x $$ из ОДЗ.

   Решим ОДЗ:

   $$ x^2 - 3x + 2 \ge 0 $$

   Корни квадратного трехчлена:

   $$ x_1 = \frac{3 + \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3+1}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{3 - \sqrt{9-8}}{2} = \frac{3-1}{2} = 1 $$

   Значит,

   $$ (x-1)(x-2) \ge 0 $$

   Решением будет

   $$ x \le 1 \cup x \ge 2 $$

   Ответ: $$ x \le 1 \cup x \ge 2 $$