Решить неравенства: а) \((x-2)^2(x-3)(x+7)\ge 0\); б) \((x-3)^2(x^2-5x+6)<0\); в) \(\dfrac{(8-5x)(3-7x)}{(x+3)^3}\ge 0\).

а) Нули множителей: \(x=2\) (кратность 2), \(x=3\), \(x=-7\). Множитель \((x-2)^2\) неотрицателен и знак не меняет; при \(x=2\) произведение равно нулю.

Знак произведения меняется при переходе через простые корни \(-7\) и \(3\). Оно положительно на промежутках \((-\infty,-7)\) и \((3,+\infty)\), а также равно нулю в корнях. Точка \(x=-3\) не является корнем и в решении не участвует.

Ответ: \(x\in(-\infty,-7]\cup\{2\}\cup[3,+\infty)\).

б) Разложим квадратный трёхчлен: \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Тогда неравенство имеет вид \((x-3)^3(x-2)<0\). Произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки: это происходит при \(2<x<3\). Концы не включаются из-за строгого неравенства.

Ответ: \(x\in(2,3)\).

в) Числитель обращается в ноль при \(x=\frac85\) и \(x=\frac37\); знаменатель не определён при \(x=-3\). Учитываем точки в порядке \(-3<\frac37<\frac85\). Все три корня простые, поэтому знак выражения меняется при переходе через каждую точку. На \((\frac37,\frac85)\) выражение отрицательно, а на \((\frac85,+\infty)\) положительно; знаки на остальных промежутках чередуются. Включаем нули числителя, но исключаем \(-3\).

Ответ: \(x\in(-3,\frac37]\cup[\frac85,+\infty)\).