Решить неравенство 1.√6 – 5x > -0,5 2.√x - 3 < x -5 3.√3 + 2x ≥√x + 1 Решить уравнение 4. √x + 7 + √x - 2 = 9 5. √19 - x3 = 3

Решим неравенства и уравнения.

1. √6 – 5x > -0,5

ОДЗ: $$6-5x \ge 0$$

$$x \le \frac{6}{5}$$, то есть $$x \le 1,2$$

Обе части неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:

$$6-5x > 0,25$$

$$5x < 5,75$$

$$x < 1,15$$

Учитывая ОДЗ, получаем:

$$x \in (-\infty; 1,15)$$

Ответ: $$x \in (-\infty; 1,15)$$

2. √x - 3 < x -5

ОДЗ: $$x-3\ge0$$

$$x\ge3$$

Рассмотрим два случая:

а) $$x-5 \ge 0$$, то есть $$x \ge 5$$

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:

$$x-3 < (x-5)^2$$

$$x-3 < x^2 - 10x + 25$$

$$x^2 - 11x + 28 > 0$$

Корни квадратного трехчлена:

$$x_1 = \frac{11 - \sqrt{121 - 4 \cdot 28}}{2} = \frac{11 - \sqrt{9}}{2} = \frac{11-3}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{11 + \sqrt{121 - 4 \cdot 28}}{2} = \frac{11 + \sqrt{9}}{2} = \frac{11+3}{2} = 7$$

Решением неравенства являются интервалы:

$$x \in (-\infty; 4) \cup (7; +\infty)$$

Учитывая условие $$x \ge 5$$, получаем:

$$x \in (7; +\infty)$$

б) $$3 \le x < 5$$

В этом случае $$x-5 < 0$$, а $$√x - 3 \ge 0$$, то есть неравенство выполняется при всех $$3 \le x < 5$$.

Объединяя решения в случаях а) и б), получаем:

$$x \in [3; 5) \cup (7; +\infty)$$

Ответ: $$x \in [3; 5) \cup (7; +\infty)$$

3. √3 + 2x ≥√x + 1

ОДЗ: $$x \ge -\frac{3}{2}$$ и $$x \ge -1$$, то есть $$x \ge -1$$

Обе части неравенства неотрицательны, возводим в квадрат:

$$3+2x \ge x+1$$

$$x \ge -2$$

С учетом ОДЗ получаем:

$$x \ge -1$$

Ответ: $$x \in [-1; +\infty)$$

4. √x + 7 + √x - 2 = 9

ОДЗ: $$x \ge 2$$

$$\sqrt{x+7} = 9 - \sqrt{x-2}$$

Возводим обе части в квадрат:

$$x+7 = 81 - 18\sqrt{x-2} + x - 2$$

$$18\sqrt{x-2} = 72$$

$$\sqrt{x-2} = 4$$

$$x-2 = 16$$

$$x = 18$$

Проверка: $$\sqrt{18+7} + \sqrt{18-2} = \sqrt{25} + \sqrt{16} = 5 + 4 = 9$$.

Ответ: $$x = 18$$

5. √19 - x³ = 3

$$\sqrt[3]{19-x^3} = 3$$

Возводим обе части в куб:

$$19 - x^3 = 27$$

$$x^3 = -8$$

$$x = -2$$

Ответ: $$x = -2$$