5. Решить неравенство $$\sqrt{x + 8} > x + 2$$.

Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x + 8} > x + 2$$.

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

• $$x + 8 \geq 0$$, откуда $$x \geq -8$$.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если $$x + 2 < 0$$, то есть $$x < -2$$, то неравенство выполняется, так как квадратный корень всегда неотрицателен. Итак, $$-8 \leq x < -2$$ является решением.
2. Если $$x + 2 \geq 0$$, то есть $$x \geq -2$$, можно возвести обе части неравенства в квадрат: $$(\sqrt{x + 8})^2 > (x + 2)^2$$ $$x + 8 > x^2 + 4x + 4$$ $$0 > x^2 + 3x - 4$$ $$x^2 + 3x - 4 < 0$$

Решим квадратное неравенство $$x^2 + 3x - 4 < 0$$. Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + 3x - 4 = 0$$:

$$D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство $$x^2 + 3x - 4 < 0$$ выполняется между корнями, то есть $$-4 < x < 1$$.

С учетом условия $$x \geq -2$$, получим $$-2 \leq x < 1$$.

Объединяем решения из обоих случаев:

• $$-8 \leq x < -2$$
• $$-2 \leq x < 1$$

Получаем $$-8 \leq x < 1$$.

Ответ: $$x \in [-8; 1)$$