Решить неравенство 1-3 1. cos x ≥ - 1/√2 2. sin x ≤ 1/2 3. sin 2x > 1/2

Решение:

1. 1. \( \cos x \ge - \frac{1}{\sqrt{2}} \)
   На единичной окружности косинус соответствует координате x. Нам нужно найти дугу, где x \(\ge\) \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\). Это соответствует углам от \(\frac{3\pi}{4}\) до \(\frac{5\pi}{4}\) против часовой стрелки. Учитывая периодичность \( 2\pi \), решения: \( \left[ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right] \), где \( k \) — целое число.
2. 2. \( \sin x \le \frac{1}{2} \)
   На единичной окружности синус соответствует координате y. Нам нужно найти дугу, где y \(\le\) \(\frac{1}{2}\). Это соответствует углам от \(\frac{\pi}{6}\) до \(\frac{5\pi}{6}\) против часовой стрелки. Учитывая периодичность \( 2\pi \), решения: \( \left[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{13\pi}{6} + 2\pi k \right] \), где \( k \) — целое число.
3. 3. \( \sin 2x > \frac{1}{2} \)
   Сначала решим \( \sin y > \frac{1}{2} \). На единичной окружности это соответствует углам от \(\frac{\pi}{6}\) до \(\frac{5\pi}{6}\) против часовой стрелки. Таким образом, \( \frac{\pi}{6} < y < \frac{5\pi}{6} \).
   Подставим \( y = 2x \): \( \frac{\pi}{6} < 2x < \frac{5\pi}{6} \).
   Разделим все части на 2: \( \frac{\pi}{12} < x < \frac{5\pi}{12} \>.
   Учитывая периодичность \( 2\pi \) для \( 2x \), решения: \( \left( \frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k \right) \), где \( k \) — целое число.

Ответ: 1. \( \left[ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \right] \), где \( k \in \mathbb{Z} \). 2. \( \left[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{13\pi}{6} + 2\pi k \right] \), где \( k \in \mathbb{Z} \). 3. \( \left( \frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k \right) \), где \( k \in \mathbb{Z} \).