Решить неравенство: \(11\log_{13}(x^2-4x-5)\le 12+\\log_{13}\frac{(x+1)^{11}}{x-5}\). В ответ записать наибольшее целое положительное решение неравенства.

ОДЗ: \(x^2-4x-5>0\) и \(\dfrac{(x+1)^{11}}{x-5}>0\). Так как \(x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\), получаем \(x<-1\) или \(x>5\).

Преобразуем неравенство:

\[11\log_{13}((x-5)(x+1))\le 12+\log_{13}\frac{(x+1)^{11}}{x-5}.\]

Поскольку \(12=11\log_{13}13\), имеем:

\[\log_{13}((x-5)(x+1))^{11}\le \log_{13}\left(13\cdot\frac{(x+1)^{11}}{x-5}\right).\]

Основание логарифма \(13>1\), поэтому:

\[(x-5)^{11}(x+1)^{11}\le 13\frac{(x+1)^{11}}{x-5}.\]

На ОДЗ \((x+1)^{11}>0\), следовательно:

\[(x-5)^{12}\le 13.\]

Отсюда \(|x-5|\le \sqrt[12]{13}\), то есть \(5-\sqrt[12]{13}\le x\le 5+\sqrt[12]{13}\). С учётом ОДЗ остаётся только \(x>5\):

\[5

Так как \(\sqrt[12]{13}<2\), наибольшее целое положительное решение равно \(6\).

Ответ: 6