Решить неравенство 2^{2x-1} - 3 \(\cdot\) 2^{x-1} + 1 < 0 В ответе укажите середину интервала решений.

Решение:

Обозначим \( y = 2^{x-1} \). Тогда \( 2^{2x-1} = 2^{2(x-1)+1} = 2 \cdot 2^{2(x-1)} = 2 \cdot (2^{x-1})^2 = 2y^2 \).

Исходное неравенство примет вид:

\[ 2y^2 - 3y + 1 < 0 \]

Найдем корни квадратного уравнения \( 2y^2 - 3y + 1 = 0 \).

Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \).

Корни:

\[ y_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \]

Неравенство \( 2y^2 - 3y + 1 < 0 \) выполняется при \( \frac{1}{2} < y < 1 \).

Подставим обратно \( y = 2^{x-1} \):

\[ \frac{1}{2} < 2^{x-1} < 1 \]

Представим числа в виде степени двойки:

\[ 2^{-1} < 2^{x-1} < 2^0 \]

Поскольку основание степени \( 2 > 1 \), неравенство выполняется при:

\[ -1 < x-1 < 0 \]

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

\[ -1 + 1 < x < 0 + 1 \]

\[ 0 < x < 1 \]

Интервал решений: \( (0; 1) \).

Середина интервала:

\[ \frac{0 + 1}{2} = 0.5 \]

Ответ: 0.5