Решить неравенство: 24-6x^2 / 2x+9 <= 0

Решение:

Решим дробно-рациональное неравенство

\[ \frac{24-6x^2}{2x+9} \le 0 \]

Для начала найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя:

\[ 24 - 6x^2 = 0 \]

\[ 6x^2 = 24 \]

\[ x^2 = 4 \]

\[ x = \pm 2 \]

2. Корень знаменателя:

\[ 2x + 9 = 0 \]

\[ 2x = -9 \]

\[ x = -4.5 \]

Теперь отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражений в интервалах.

Числитель \( 24 - 6x^2 \) — парабола ветвями вниз, корни \( -2 \) и \( 2 \). Знаки: -, +, -.

Знаменатель \( 2x + 9 \) — прямая с положительным наклоном, корень \( -4.5 \). Знаки: -, +.

Составим таблицу знаков для дроби:

Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю. Значит, подходят интервалы \( (-4.5; -2] \) и \( (2; +\infty) \). Обратите внимание, что \( x = -4.5 \) не включается, так как на ноль делить нельзя.

Ответ: \( x \in (-4.5; -2] \cup [2; +\infty) \).