Решить неравенство √3x + x^2 > 1-x.

Решение:

Дано неравенство: \( \sqrt{3x + x^2} > 1-x \).

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения:

\( 3x + x^2 ≥ 0 \)

\( x(3+x) ≥ 0 \)

Решением этого неравенства является \( x ∈ (-\infty; -3] ∪ [0; +∞) \).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( 1-x < 0 \), то есть \( x > 1 \). В этом случае левая часть неравенства (корень) неотрицательна, а правая отрицательна, поэтому неравенство выполняется для всех \( x > 1 \). Учитывая ОДЗ, получаем \( x ∈ (1; +∞) \).
2. Случай 2: \( 1-x ≥ 0 \), то есть \( x ≤ 1 \). В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести обе части в квадрат:

\( 3x + x^2 > (1-x)^2 \)

\( 3x + x^2 > 1 - 2x + x^2 \)

\( 3x > 1 - 2x \)

\( 5x > 1 \)

\( x > \frac{1}{5} \)

\( x > 0.2 \)

Совмещаем это условие с условием случая \( x ≤ 1 \) и ОДЗ \( x ∈ (-\infty; -3] ∪ [0; +∞) \). В итоге получаем \( x ∈ (0.2; 1] \).

Объединяем решения из обоих случаев:

\( x ∈ (1; +∞) ∪ (0.2; 1] = (0.2; +∞) \).

Таким образом, решением неравенства является интервал \( (0.2; +∞) \).

Ответ: (0.2; +∞)