Решить неравенство $$\frac{2a}{x} - \frac{1}{x-1} > 1$$ при $$0 < a \le 2$$.

Решение:

1. Перенесём единицу влево и приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{2a}{x} - \frac{1}{x-1} - 1 > 0 \implies \frac{2a(x-1) - x - x(x-1)}{x(x-1)} > 0 \implies \frac{2ax - 2a - x - x^2 + x}{x(x-1)} > 0 \implies \frac{-x^2 + (2a)x - 2a}{x(x-1)} > 0 \implies \frac{x^2 - 2ax + 2a}{x(x-1)} < 0$$.
2. Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2 - 2ax + 2a$$. Его дискриминант равен $$D = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2a = 4a^2 - 8a = 4a(a-2)$$.
3. Так как по условию $$0 < a \le 2$$, то $$a-2 \le 0$$. Следовательно, $$D = 4a(a-2) \le 0$$.
4. Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен (равен 1), парабола $$y = x^2 - 2ax + 2a$$ направлена ветвями вверх. Поскольку $$D \le 0$$, парабола либо касается оси $$x$$ (при $$a=2$$), либо лежит выше оси $$x$$ (при $$0 < a < 2$$). Таким образом, $$x^2 - 2ax + 2a \ge 0$$ для всех $$x$$.
5. Тогда неравенство $$\frac{x^2 - 2ax + 2a}{x(x-1)} < 0$$ эквивалентно неравенству $$\frac{1}{x(x-1)} < 0$$ (так как числитель неотрицателен).
6. Неравенство $$\frac{1}{x(x-1)} < 0$$ выполняется, когда $$x(x-1) < 0$$. Это происходит при $$0 < x < 1$$.
7. Рассмотрим случай $$a=2$$. Тогда $$D = 4 · 2 · (2-2) = 0$$. Квадратный трёхчлен $$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$$. Неравенство становится $$\frac{(x-2)^2}{x(x-1)} < 0$$.
8. Так как $$(x-2)^2 \ge 0$$, а для выполнения неравенства числитель не должен быть равен нулю, то $$x
   e 2$$.
9. Тогда неравенство $$\frac{(x-2)^2}{x(x-1)} < 0$$ эквивалентно $$\frac{1}{x(x-1)} < 0$$ при $$x
   e 2$$.
10. Решение $$x(x-1) < 0$$ это $$0 < x < 1$$. Это условие не противоречит $$x
    e 2$$.
11. Следовательно, для всех $$0 < a \le 2$$, решением неравенства является $$0 < x < 1$$.

Ответ: c. 0 < x < 1