Решить неравенство $$\frac{x-a+1}{x+2a} \le 0$$ при $$a = \frac{1}{3}$$.

Решение:

Подставим значение \( a = \frac{1}{3} \) в неравенство:

\[ \frac{x - \frac{1}{3} + 1}{x + 2 \cdot \frac{1}{3}} \le 0 \]\[ \frac{x + \frac{2}{3}}{x + \frac{2}{3}} \le 0 \]

Это неравенство имеет вид \( \frac{N}{D} \le 0 \).

Числитель равен \( x + \frac{2}{3} \) и знаменатель равен \( x + \frac{2}{3} \).

Рассмотрим условия:

1. Знаменатель не должен быть равен нулю: \( x + \frac{2}{3}
e 0 \) => \( x
e -\frac{2}{3} \).

2. Для выполнения неравенства \( \frac{N}{D} \le 0 \), числитель и знаменатель должны иметь разные знаки или числитель должен быть равен нулю.

В данном случае числитель и знаменатель одинаковы. Поэтому, чтобы их отношение было \( \le 0 \), необходимо, чтобы они были равны нулю. Однако, знаменатель не может быть равен нулю.

Рассмотрим случай, когда числитель равен нулю: \( x + \frac{2}{3} = 0 \) => \( x = -\frac{2}{3} \).

При \( x = -\frac{2}{3} \) дробь имеет вид \( \frac{0}{0} \), что неопределённо.

Таким образом, ни при каких значениях \( x \) данное выражение не может быть меньше или равно нулю, так как числитель и знаменатель всегда равны друг другу и, следовательно, их отношение всегда равно 1 (кроме случая, когда они равны 0, который исключён).

Однако, есть нюанс. Если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то выражение равно нулю. В нашем случае, если \( x + \frac{2}{3} = 0 \), то и знаменатель равен нулю, что недопустимо.

Следовательно, ни одно значение \( x \) не удовлетворяет условию \( \frac{x + \frac{2}{3}}{x + \frac{2}{3}} \le 0 \), так как \( \frac{x + \frac{2}{3}}{x + \frac{2}{3}} = 1 \) для всех \( x
e -\frac{2}{3} \).

Значит, множество решений пусто.

Ответ: b.