Решить неравенство: log₃(5 - 3x) ≥ log₃(7 - 2x)

Решение:

1. Для решения логарифмического неравенства необходимо учесть условия существования логарифмов:
• \( 5 - 3x > 0 \)
• \( 7 - 2x > 0 \)
2. Решим первое неравенство:
• \( 5 > 3x \)
• \( x < \frac{5}{3} \)
3. Решим второе неравенство:
• \( 7 > 2x \)
• \( x < \frac{7}{2} \)
4. Объединим условия: \( x < \frac{5}{3} \) и \( x < \frac{7}{2} \). Так как \( \frac{5}{3} = 1.66... \) и \( \frac{7}{2} = 3.5 \), то \( x < \frac{5}{3} \) является более строгим условием.
5. Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), то при \( \text{log}_3(a) \text{ ≥ } \text{log}_3(b) \) следует, что \( a \text{ ≥ } b \).
6. Применим это к нашему неравенству:
• \( 5 - 3x \text{ ≥ } 7 - 2x \)
• \( -3x + 2x \text{ ≥ } 7 - 5 \)
• \( -x \text{ ≥ } 2 \)
• \( x \text{ ≤ } -2 \)
7. Теперь объединим полученное условие \( x \text{ ≤ } -2 \) с условием существования логарифмов \( x < \frac{5}{3} \).
8. Пересечение \( x \text{ ≤ } -2 \) и \( x < \frac{5}{3} \) дает \( x \text{ ≤ } -2 \).

Ответ: \( x \text{ ≤ } -2 \).