Контрольные задания > 108. Решить неравенство: 1) x² + x − 30 < 0; 2) x² - 10x + 16 ≥ 0; 3) -x² + 0,8 x + 2,4 > 0; 4) 5x2 - 4x-12 ≤ 0; 5) -2x² + 7x - 6 < 0; 6) 2x² - 50x ≥ 0; 7) 4x² - 49 < 0; 8) 16x² - 8x + 1 > 0; 9) x² + 10x + 25 ≥ 0; 10) 2x² - 3x + 4 > 0; 11) 9x2 - 6x + 1 ≤ 0; 12) 4x² - 20x + 25 < 0; 13) 3x² - x + 2 ≤ 0; 14) -9x² + 4x - 2 < 0; 15) -4x² + 4x - 1 ≤ 0.
Вопрос:

108. Решить неравенство: 1) x² + x − 30 < 0; 2) x² - 10x + 16 ≥ 0; 3) -x² + 0,8 x + 2,4 > 0; 4) 5x2 - 4x-12 ≤ 0; 5) -2x² + 7x - 6 < 0; 6) 2x² - 50x ≥ 0; 7) 4x² - 49 < 0; 8) 16x² - 8x + 1 > 0; 9) x² + 10x + 25 ≥ 0; 10) 2x² - 3x + 4 > 0; 11) 9x2 - 6x + 1 ≤ 0; 12) 4x² - 20x + 25 < 0; 13) 3x² - x + 2 ≤ 0; 14) -9x² + 4x - 2 < 0; 15) -4x² + 4x - 1 ≤ 0.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решим каждое неравенство по порядку:

  1. $$x^2 + x - 30 < 0$$

    Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + x - 30 = 0$$

    По теореме Виета:

    $$x_1 + x_2 = -1$$

    $$x_1 \cdot x_2 = -30$$

    $$x_1 = -6, x_2 = 5$$

    Интервалы: $$(-\infty; -6), (-6; 5), (5; +\infty)$$

    Проверим знак на каждом интервале:

    • $$x = -7: (-7)^2 + (-7) - 30 = 49 - 7 - 30 = 12 > 0$$
    • $$x = 0: 0^2 + 0 - 30 = -30 < 0$$
    • $$x = 6: 6^2 + 6 - 30 = 36 + 6 - 30 = 12 > 0$$

    Решением является интервал, где выражение меньше нуля:

    $$x \in (-6; 5)$$

  2. $$x^2 - 10x + 16 \ge 0$$

    Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 10x + 16 = 0$$

    По теореме Виета:

    $$x_1 + x_2 = 10$$

    $$x_1 \cdot x_2 = 16$$

    $$x_1 = 2, x_2 = 8$$

    Интервалы: $$(-\infty; 2], [2; 8], [8; +\infty)$$

    Проверим знак на каждом интервале:

    • $$x = 0: 0^2 - 10 \cdot 0 + 16 = 16 > 0$$
    • $$x = 5: 5^2 - 10 \cdot 5 + 16 = 25 - 50 + 16 = -9 < 0$$
    • $$x = 9: 9^2 - 10 \cdot 9 + 16 = 81 - 90 + 16 = 7 > 0$$

    Решением являются интервалы, где выражение больше или равно нулю:

    $$x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$$

  3. $$-x^2 + 0.8x + 2.4 > 0$$

    Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

    $$x^2 - 0.8x - 2.4 < 0$$

    Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 0.8x - 2.4 = 0$$

    $$D = (-0.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2.4) = 0.64 + 9.6 = 10.24$$

    $$x_{1,2} = \frac{-(-0.8) \pm \sqrt{10.24}}{2 \cdot 1} = \frac{0.8 \pm 3.2}{2}$$

    $$x_1 = \frac{0.8 - 3.2}{2} = \frac{-2.4}{2} = -1.2$$

    $$x_2 = \frac{0.8 + 3.2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

    Интервалы: $$(-\infty; -1.2), (-1.2; 2), (2; +\infty)$$

    Проверим знак на каждом интервале:

    • $$x = -2: -(-2)^2 + 0.8 \cdot (-2) + 2.4 = -4 - 1.6 + 2.4 = -3.2 < 0$$
    • $$x = 0: -0^2 + 0.8 \cdot 0 + 2.4 = 2.4 > 0$$
    • $$x = 3: -3^2 + 0.8 \cdot 3 + 2.4 = -9 + 2.4 + 2.4 = -4.2 < 0$$

    Решением является интервал, где выражение больше нуля:

    $$x \in (-1.2; 2)$$

  4. $$5x^2 - 4x - 12 \le 0$$

    Найдем корни квадратного уравнения $$5x^2 - 4x - 12 = 0$$

    $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256$$

    $$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{4 \pm 16}{10}$$

    $$x_1 = \frac{4 - 16}{10} = \frac{-12}{10} = -1.2$$

    $$x_2 = \frac{4 + 16}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

    Интервалы: $$(-\infty; -1.2], [-1.2; 2], [2; +\infty)$$

    Проверим знак на каждом интервале:

    • $$x = -2: 5 \cdot (-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 12 = 20 + 8 - 12 = 16 > 0$$
    • $$x = 0: 5 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 - 12 = -12 < 0$$
    • $$x = 3: 5 \cdot 3^2 - 4 \cdot 3 - 12 = 45 - 12 - 12 = 21 > 0$$

    Решением является интервал, где выражение меньше или равно нулю:

    $$x \in [-1.2; 2]$$

  5. $$-2x^2 + 7x - 6 < 0$$

    Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

    $$2x^2 - 7x + 6 > 0$$

    Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 7x + 6 = 0$$

    $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$

    $$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$$

    $$x_1 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$

    $$x_2 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

    Интервалы: $$(-\infty; 1.5), (1.5; 2), (2; +\infty)$$

    Проверим знак на каждом интервале:

    • $$x = 0: 2 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 + 6 = 6 > 0$$
    • $$x = 1.75: 2 \cdot (1.75)^2 - 7 \cdot 1.75 + 6 = 6.125 - 12.25 + 6 = -0.125 < 0$$
    • $$x = 3: 2 \cdot 3^2 - 7 \cdot 3 + 6 = 18 - 21 + 6 = 3 > 0$$

    Решением являются интервалы, где выражение больше нуля:

    $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$

  6. $$2x^2 - 50x \ge 0$$

    $$2x(x - 25) \ge 0$$

    Найдем корни:

    $$2x = 0 => x_1 = 0$$

    $$x - 25 = 0 => x_2 = 25$$

    Интервалы: $$(-\infty; 0], [0; 25], [25; +\infty)$$

    Проверим знак на каждом интервале:

    • $$x = -1: 2 \cdot (-1)^2 - 50 \cdot (-1) = 2 + 50 = 52 > 0$$
    • $$x = 1: 2 \cdot 1^2 - 50 \cdot 1 = 2 - 50 = -48 < 0$$
    • $$x = 26: 2 \cdot 26^2 - 50 \cdot 26 = 1352 - 1300 = 52 > 0$$

    Решением являются интервалы, где выражение больше или равно нулю:

    $$x \in (-\infty; 0] \cup [25; +\infty)$$

  7. $$4x^2 - 49 < 0$$

    $$4x^2 < 49$$

    $$x^2 < \frac{49}{4}$$

    $$x^2 < 12.25$$

    $$-\sqrt{12.25} < x < \sqrt{12.25}$$

    $$-3.5 < x < 3.5$$

    $$x \in (-3.5; 3.5)$$

  8. $$16x^2 - 8x + 1 > 0$$

    $$(4x - 1)^2 > 0$$

    Выражение всегда больше нуля, кроме случая, когда $$4x - 1 = 0$$

    $$4x = 1$$

    $$x = \frac{1}{4} = 0.25$$

    Решением являются все числа, кроме $$x = 0.25$$

    $$x \in (-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$$

  9. $$x^2 + 10x + 25 \ge 0$$

    $$(x + 5)^2 \ge 0$$

    Выражение всегда больше или равно нулю.

    $$x \in R$$

  10. $$2x^2 - 3x + 4 > 0$$

    Найдем дискриминант:

    $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$$

    Так как дискриминант меньше нуля, и коэффициент при $$x^2$$ положительный, то выражение всегда больше нуля.

    $$x \in R$$

  11. $$9x^2 - 6x + 1 \le 0$$

    $$(3x - 1)^2 \le 0$$

    Выражение может быть только равно нулю.

    $$3x - 1 = 0$$

    $$3x = 1$$

    $$x = \frac{1}{3}$$

    $$x = \frac{1}{3}$$

  12. $$4x^2 - 20x + 25 < 0$$

    $$(2x - 5)^2 < 0$$

    Квадрат не может быть меньше нуля.

    Решений нет.

  13. $$3x^2 - x + 2 \le 0$$

    Найдем дискриминант:

    $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23$$

    Так как дискриминант меньше нуля, и коэффициент при $$x^2$$ положительный, то выражение всегда больше нуля.

    Решений нет.

  14. $$-9x^2 + 4x - 2 < 0$$

    Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

    $$9x^2 - 4x + 2 > 0$$

    Найдем дискриминант:

    $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 16 - 72 = -56$$

    Так как дискриминант меньше нуля, и коэффициент при $$x^2$$ положительный, то выражение всегда больше нуля.

    $$x \in R$$

  15. $$-4x^2 + 4x - 1 \le 0$$

    Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

    $$4x^2 - 4x + 1 \ge 0$$

    $$(2x - 1)^2 \ge 0$$

    Выражение всегда больше или равно нулю.

    $$x \in R$$

Ответ: 1) $$x \in (-6; 5)$$, 2) $$x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$$, 3) $$x \in (-1.2; 2)$$, 4) $$x \in [-1.2; 2]$$, 5) $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$, 6) $$x \in (-\infty; 0] \cup [25; +\infty)$$, 7) $$x \in (-3.5; 3.5)$$, 8) $$x \in (-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$$, 9) $$x \in R$$, 10) $$x \in R$$, 11) $$x = \frac{1}{3}$$, 12) решений нет, 13) решений нет, 14) $$x \in R$$, 15) $$x \in R$$

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю