108. Решить неравенство: 1) x² + x − 30 < 0; 2) x² - 10x + 16 ≥ 0; 3) -x² + 0,8x + 2,4 > 0; 4) 5x² - 4x - 12 ≤ 0; 5) -2x² + 7x - 6 < 0; 6) 2x² - 50x ≥ 0; 7) 4x² - 49 < 0; 8) 16x² - 8x + 1 > 0; 9) x² + 10x + 25 ≥ 0; 10) 2x² - 3x + 4 > 0; 11) 9x² - 6x + 1 ≤ 0; 12) 4x² - 20x + 25 < 0; 13) 3x² - x + 2 ≤ 0; 14)-9x² + 4x - 2 < 0; 15) -4x² + 4x - 1 ≤ 0.

Решим данные квадратные неравенства.

1. $$x^2 + x - 30 < 0$$
   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 + x - 30 = 0$$.
   По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -1$$, $$x_1 \cdot x_2 = -30$$.
   $$x_1 = -6$$, $$x_2 = 5$$.
   Неравенство выполняется при $$x \in (-6; 5)$$.
2. $$x^2 - 10x + 16 \ge 0$$
   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 10x + 16 = 0$$.
   По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = 10$$, $$x_1 \cdot x_2 = 16$$.
   $$x_1 = 2$$, $$x_2 = 8$$.
   Неравенство выполняется при $$x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$$.
3. $$-x^2 + 0.8x + 2.4 > 0$$
   $$x^2 - 0.8x - 2.4 < 0$$
   Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 0.8x - 2.4 = 0$$.
   $$D = (-0.8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2.4) = 0.64 + 9.6 = 10.24 = 3.2^2$$.
   $$x_1 = \frac{0.8 + 3.2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$.
   $$x_2 = \frac{0.8 - 3.2}{2} = \frac{-2.4}{2} = -1.2$$.
   Неравенство выполняется при $$x \in (-1.2; 2)$$.
4. $$5x^2 - 4x - 12 \le 0$$
   Найдем корни квадратного уравнения $$5x^2 - 4x - 12 = 0$$.
   $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) = 16 + 240 = 256 = 16^2$$.
   $$x_1 = \frac{4 + 16}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$$.
   $$x_2 = \frac{4 - 16}{10} = \frac{-12}{10} = -1.2$$.
   Неравенство выполняется при $$x \in [-1.2; 2]$$.
5. $$-2x^2 + 7x - 6 < 0$$
   $$2x^2 - 7x + 6 > 0$$
   Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 7x + 6 = 0$$.
   $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$$.
   $$x_1 = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$.
   $$x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$$.
   Неравенство выполняется при $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$.
6. $$2x^2 - 50x \ge 0$$
   $$2x(x - 25) \ge 0$$
   $$x \ge 0$$ или $$x - 25 \ge 0 \Rightarrow x \ge 25$$
   Неравенство выполняется при $$x \in (-\infty; 0] \cup [25; +\infty)$$.
7. $$4x^2 - 49 < 0$$
   $$(2x - 7)(2x + 7) < 0$$
   $$2x - 7 = 0 \Rightarrow x = 3.5$$
   $$2x + 7 = 0 \Rightarrow x = -3.5$$
   Неравенство выполняется при $$x \in (-3.5; 3.5)$$.
8. $$16x^2 - 8x + 1 > 0$$
   $$(4x - 1)^2 > 0$$
   $$4x - 1
   e 0 \Rightarrow x
   e \frac{1}{4} = 0.25$$.
   Неравенство выполняется при $$x \in (-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$$.
9. $$x^2 + 10x + 25 \ge 0$$
   $$(x + 5)^2 \ge 0$$
   Неравенство выполняется при $$x \in R$$.
10. $$2x^2 - 3x + 4 > 0$$
    $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23 < 0$$.
    Так как дискриминант меньше нуля, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, то неравенство выполняется при $$x \in R$$.
11. $$9x^2 - 6x + 1 \le 0$$
    $$(3x - 1)^2 \le 0$$
    Это возможно только в том случае, если $$(3x - 1)^2 = 0 \Rightarrow 3x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$$.
    Неравенство выполняется только при $$x = \frac{1}{3}$$.
12. $$4x^2 - 20x + 25 < 0$$
    $$(2x - 5)^2 < 0$$
    Данное неравенство не имеет решений.
13. $$3x^2 - x + 2 \le 0$$
    $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23 < 0$$.
    Так как дискриминант меньше нуля, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, то неравенство не имеет решений.
14. $$-9x^2 + 4x - 2 < 0$$
    $$9x^2 - 4x + 2 > 0$$
    $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 16 - 72 = -56 < 0$$.
    Так как дискриминант меньше нуля, а коэффициент при $$x^2$$ положителен, то неравенство выполняется при $$x \in R$$.
15. $$-4x^2 + 4x - 1 \le 0$$
    $$4x^2 - 4x + 1 \ge 0$$
    $$(2x - 1)^2 \ge 0$$
    Неравенство выполняется при $$x \in R$$.

Ответ: 1) $$x \in (-6; 5)$$; 2) $$x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$$; 3) $$x \in (-1.2; 2)$$; 4) $$x \in [-1.2; 2]$$; 5) $$x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; +\infty)$$; 6) $$x \in (-\infty; 0] \cup [25; +\infty)$$; 7) $$x \in (-3.5; 3.5)$$; 8) $$x \in (-\infty; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$$; 9) $$x \in R$$; 10) $$x \in R$$; 11) $$x = \frac{1}{3}$$; 12) нет решений; 13) нет решений; 14) $$x \in R$$; 15) $$x \in R$$.