Решить неравенство: x^2 - 4x - 5 > 0

Решение:

1. Находим корни квадратного уравнения \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Чтобы найти корни, воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Где $$a=1$$, $$b=-4$$, $$c=-5$$. \[ D = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-5) = 16 + 20 = 36 \] Теперь найдём сами корни по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-(-4) - \sqrt{36}}{2 \times 1} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \times 1} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]
2. Определяем знаки интервалов Квадратный трёхчлен $$x^2 - 4x - 5$$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $$x^2$$ равен 1, что больше нуля). Корни параболы - это $$x = -1$$ и $$x = 5$$. Эти корни делят числовую ось на три интервала: $$(-\infty, -1)$$, $$(-1, 5)$$, $$(5, \infty)$$. * На интервале $$(-\infty, -1)$$ возьмём пробную точку, например, $$x = -2$$. Подставим в неравенство: $$(-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7$$. $$7 > 0$$, значит, на этом интервале знак плюс (+). * На интервале $$(-1, 5)$$ возьмём пробную точку, например, $$x = 0$$. Подставим в неравенство: $$0^2 - 4(0) - 5 = -5$$. $$-5 < 0$$, значит, на этом интервале знак минус (-). * На интервале $$(5, \infty)$$ возьмём пробную точку, например, $$x = 6$$. Подставим в неравенство: $$6^2 - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7$$. $$7 > 0$$, значит, на этом интервале знак плюс (+). Нам нужно решить неравенство $$x^2 - 4x - 5 > 0$$, то есть найти интервалы, где значение выражения больше нуля (где стоит знак плюс).
3. Записываем ответ Неравенство выполняется на интервалах $$(-\infty, -1)$$ и $$(5, \infty)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$$