Решить неравенство: x^2 - 6|x| <= 7.

Решение:

Для решения данного неравенства, содержащего модуль, рассмотрим два случая, исходя из определения модуля: \( |x| = x \) при \( x \ge 0 \) и \( |x| = -x \) при \( x < 0 \).

1. Случай 1: \( x \ge 0 \)
   В этом случае \( |x| = x \). Неравенство принимает вид:
   \[ x^2 - 6x \le 7 \]
   Перенесём всё в левую часть:
   \[ x^2 - 6x - 7 \le 0 \]
   Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 6x - 7 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \[ D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64 \]
   \[ x_1 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1 \]
   \[ x_2 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \]
   Так как ветви параболы \( y = x^2 - 6x - 7 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 6x - 7 \le 0 \) выполняется при \( -1 \le x \le 7 \).
   Учитывая условие \( x \ge 0 \), получаем решение для первого случая: \( 0 \le x \le 7 \).
2. Случай 2: \( x < 0 \)
   В этом случае \( |x| = -x \). Неравенство принимает вид:
   \[ x^2 - 6(-x) \le 7 \]
   \[ x^2 + 6x \le 7 \]
   Перенесём всё в левую часть:
   \[ x^2 + 6x - 7 \le 0 \]
   Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 + 6x - 7 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \[ D = (6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64 \]
   \[ x_1 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7 \]
   \[ x_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1 \]
   Так как ветви параболы \( y = x^2 + 6x - 7 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 + 6x - 7 \le 0 \) выполняется при \( -7 \le x \le 1 \).
   Учитывая условие \( x < 0 \), получаем решение для второго случая: \( -7 \le x < 0 \).
3. Объединение решений
   Объединим решения двух случаев: \( [-7, 0) \cup [0, 7] \).

Ответ: \( [-7; 7] \).