Решить показательное неравенство 3.(1/9)^x - 28.(1/3)^x + 9 < 0.

Решение:

Данное неравенство является показательным. Чтобы решить его, сделаем замену переменной.

1. Заметим, что \( \frac{1}{9}^x = \left(\frac{1}{3^2}\right)^x = \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{1}{3}^x\right)^2 \).
2. Пусть \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \). Тогда неравенство примет вид:

$$3y^2 - 28y + 9 < 0$$

3. Решим квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( 3y^2 - 28y + 9 = 0 \).
4. Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).

$$D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676$$

\( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \).

5. Найдём корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

$$y_1 = \frac{-(-28) + 26}{2 \cdot 3} = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9$$$$y_2 = \frac{-(-28) - 26}{2 \cdot 3} = \frac{28 - 26}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

6. Парабола \( 3y^2 - 28y + 9 \) направлена ветвями вверх, так как коэффициент при \( y^2 \) (то есть \( 3 \)) положительный. Неравенство \( 3y^2 - 28y + 9 < 0 \) выполняется между корнями.

$$\frac{1}{3} < y < 9$$

7. Вернёмся к исходной переменной \( x \), подставив \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x \):

$$\frac{1}{3} < \left(\frac{1}{3}\right)^x < 9$$

8. Рассмотрим двойное неравенство отдельно:

а) \( \frac{1}{3} < \left(\frac{1}{3}\right)^x \)

Так как основание степени \( \frac{1}{3} < 1 \), то при переходе от степени к показателю знак неравенства меняется на противоположный:

$$1 < x$$

б) \( \left(\frac{1}{3}\right)^x < 9 \)

Представим \( 9 \) как степень с основанием \( \frac{1}{3} \): \( 9 = 3^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \).

$$ \left(\frac{1}{3}\right)^x < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} $$

Так как основание степени \( \frac{1}{3} < 1 \), то при переходе от степени к показателю знак неравенства меняется на противоположный:

$$ x > -2 $$

9. Объединим полученные условия: \( x > 1 \) и \( x > -2 \). Общим решением является \( x > 1 \).

Ответ: x > 1.