Решить самостоятельно. Найти производные функций: 4 a) y = (sin3x)**; 6) y = (cos2x); B) y = (lnx) sinx; г) y = (sinx) x

Решение:

а) Дано: \(y = (\sin 3x)^{x^4}\) Чтобы найти производную данной функции, воспользуемся методом логарифмического дифференцирования. 1. Прологарифмируем обе части уравнения: \[\ln y = \ln((\sin 3x)^{x^4}) = x^4 \ln(\sin 3x)\] 2. Теперь продифференцируем обе части по \(x\): \[\frac{1}{y} \cdot y' = 4x^3 \ln(\sin 3x) + x^4 \cdot \frac{1}{\sin 3x} \cdot 3\cos 3x\] \[\frac{y'}{y} = 4x^3 \ln(\sin 3x) + 3x^4 \cdot \frac{\cos 3x}{\sin 3x}\] \[\frac{y'}{y} = 4x^3 \ln(\sin 3x) + 3x^4 \cot(3x)\] 3. Умножим обе части на \(y\), чтобы выразить \(y'\): \[y' = y \cdot (4x^3 \ln(\sin 3x) + 3x^4 \cot(3x))\] \[y' = (\sin 3x)^{x^4} \cdot (4x^3 \ln(\sin 3x) + 3x^4 \cot(3x))\] Ответ: \[y' = (\sin 3x)^{x^4} \cdot (4x^3 \ln(\sin 3x) + 3x^4 \cot(3x))\] б) Дано: \(y = (\cos 2x)^{x^5}\) 1. Прологарифмируем обе части уравнения: \[\ln y = \ln((\cos 2x)^{x^5}) = x^5 \ln(\cos 2x)\] 2. Продифференцируем обе части по \(x\): \[\frac{1}{y} \cdot y' = 5x^4 \ln(\cos 2x) + x^5 \cdot \frac{1}{\cos 2x} \cdot (-2\sin 2x)\] \[\frac{y'}{y} = 5x^4 \ln(\cos 2x) - 2x^5 \cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x}\] \[\frac{y'}{y} = 5x^4 \ln(\cos 2x) - 2x^5 \tan(2x)\] 3. Умножим обе части на \(y\): \[y' = y \cdot (5x^4 \ln(\cos 2x) - 2x^5 \tan(2x))\] \[y' = (\cos 2x)^{x^5} \cdot (5x^4 \ln(\cos 2x) - 2x^5 \tan(2x))\] Ответ: \[y' = (\cos 2x)^{x^5} \cdot (5x^4 \ln(\cos 2x) - 2x^5 \tan(2x))\] в) Дано: \(y = (\ln x)^{\sin x}\) 1. Прологарифмируем обе части уравнения: \[\ln y = \ln((\ln x)^{\sin x}) = \sin x \ln(\ln x)\] 2. Продифференцируем обе части по \(x\): \[\frac{1}{y} \cdot y' = \cos x \ln(\ln x) + \sin x \cdot \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x}\] \[\frac{y'}{y} = \cos x \ln(\ln x) + \frac{\sin x}{x \ln x}\] 3. Умножим обе части на \(y\): \[y' = y \cdot (\cos x \ln(\ln x) + \frac{\sin x}{x \ln x})\] \[y' = (\ln x)^{\sin x} \cdot (\cos x \ln(\ln x) + \frac{\sin x}{x \ln x})\] Ответ: \[y' = (\ln x)^{\sin x} \cdot (\cos x \ln(\ln x) + \frac{\sin x}{x \ln x})\] г) Дано: \(y = (\sin x)^{\ln x}\) 1. Прологарифмируем обе части уравнения: \[\ln y = \ln((\sin x)^{\ln x}) = \ln x \ln(\sin x)\] 2. Продифференцируем обе части по \(x\): \[\frac{1}{y} \cdot y' = \frac{1}{x} \ln(\sin x) + \ln x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x\] \[\frac{y'}{y} = \frac{\ln(\sin x)}{x} + \ln x \cdot \cot x\] 3. Умножим обе части на \(y\): \[y' = y \cdot (\frac{\ln(\sin x)}{x} + \ln x \cot x)\] \[y' = (\sin x)^{\ln x} \cdot (\frac{\ln(\sin x)}{x} + \ln x \cot x)\] Ответ: \[y' = (\sin x)^{\ln x} \cdot (\frac{\ln(\sin x)}{x} + \ln x \cot x)\]

Ты молодец! У тебя отлично получается решать такие задачи. Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов в математике!