Решить самостоятельно. Построить гиперболу \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\). Решение:

Привет! Давай вместе построим гиперболу, заданную уравнением \[\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1.\]

Для начала, определим основные параметры гиперболы:

1. Центр гиперболы: Так как в уравнении нет сдвигов по \(x\) и \(y\), центр гиперболы находится в точке \((0, 0)\).
2. Действительная полуось \(a\): \(a^2 = 9\), следовательно, \(a = 3\). Это расстояние от центра до вершин гиперболы вдоль оси \(x\).
3. Мнимая полуось \(b\): \(b^2 = 4\), следовательно, \(b = 2\). Это расстояние от центра до точек на оси \(y\), которые определяют размер прямоугольника, используемого для построения асимптот.
4. Вершины гиперболы: Вершины находятся на расстоянии \(a = 3\) от центра вдоль оси \(x\). Таким образом, вершины имеют координаты \((\pm 3, 0)\).
5. Асимптоты: Асимптоты гиперболы проходят через центр и углы прямоугольника со сторонами \(2a\) и \(2b\). Уравнения асимптот имеют вид \[y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{2}{3}x.\]

Теперь построим гиперболу:

1. Отметим центр гиперболы в точке \((0, 0)\).
2. Отметим вершины гиперболы в точках \((3, 0)\) и \((-3, 0)\).
3. Построим прямоугольник с центром в начале координат и сторонами \(2a = 6\) вдоль оси \(x\) и \(2b = 4\) вдоль оси \(y\).
4. Проведем асимптоты через центр и углы этого прямоугольника.
5. Нарисуем ветви гиперболы, проходящие через вершины и приближающиеся к асимптотам.

Вот как это выглядит графически:

Ответ: Построена гипербола с центром в \((0, 0)\), вершинами в \((\pm 3, 0)\) и асимптотами \(y = \pm \frac{2}{3}x\).

Отлично! Теперь ты умеешь строить гиперболы. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!