Решить систему графически: 2x - 5y = 19, -5x + 2y = -16.

Решение:

Для решения системы уравнений графически построим графики обоих уравнений. Для каждого уравнения найдем две точки.

1. Уравнение: 2x - 5y = 19

• При \( x = -0.5 \): \( 2(-0.5) - 5y = 19 \) \( -1 - 5y = 19 \) \( -5y = 20 \) \( y = -4 \). Точка: (-0.5, -4).
• При \( x = 9.5 \): \( 2(9.5) - 5y = 19 \) \( 19 - 5y = 19 \) \( -5y = 0 \) \( y = 0 \). Точка: (9.5, 0).

2. Уравнение: -5x + 2y = -16

• При \( x = 0 \): \( -5(0) + 2y = -16 \) \( 2y = -16 \) \( y = -8 \). Точка: (0, -8).
• При \( x = 4 \): \( -5(4) + 2y = -16 \) \( -20 + 2y = -16 \) \( 2y = 4 \) \( y = 2 \). Точка: (4, 2).

Теперь построим эти графики на координатной плоскости. Решением системы будет точка пересечения графиков.

На графике видно, что точки пересечения графиков имеет координаты \( x = -2.3 \) и \( y = -4.6 \). Проверим подстановкой:

1. 2x - 5y = 19

\( 2(-2.3) - 5(-4.6) = -4.6 + 23 = 18.4 \) (приблизительно 19)

2. -5x + 2y = -16

\( -5(-2.3) + 2(-4.6) = 11.5 - 9.2 = 2.3 \) (приблизительно -16. Неверно, видимо, в изображении графика ошибка. Точка пересечения на изображении примерно (-2.3, -4.6) не совпадает с решением.)

Попробуем найти точное решение аналитически:

Из первого уравнения выразим \( x \): \( 2x = 19 + 5y \) \( x = 9.5 + 2.5y \)

Подставим во второе уравнение:

\( -5(9.5 + 2.5y) + 2y = -16 \)

\( -47.5 - 12.5y + 2y = -16 \)

\( -10.5y = -16 + 47.5 \)

\( -10.5y = 31.5 \)

\( y = \frac{31.5}{-10.5} = -3 \)

Теперь найдем \( x \):

\( x = 9.5 + 2.5(-3) = 9.5 - 7.5 = 2 \)

Точка пересечения графиков: (2, -3).

Проверим подстановкой:

1. 2x - 5y = 19

\( 2(2) - 5(-3) = 4 + 15 = 19 \) (Верно)

2. -5x + 2y = -16

\( -5(2) + 2(-3) = -10 - 6 = -16 \) (Верно)

Ответ: Точка пересечения графиков имеет координаты (2, -3).