Решить систему линейных уравнений: x₁ + 2x₂ − 7x₃ + x₄ − x₅ = 0; 2x₂ − x₃ + 2x₄ = 0; x₃ + x₄ + 2x₅ = 0.

Выразим переменные через свободные параметры. Из третьего уравнения: \(x_3=-x_4-2x_5\).

Подставим во второе уравнение:

\[2x_2-(-x_4-2x_5)+2x_4=0,\]

\[2x_2+3x_4+2x_5=0,\qquad x_2=-\frac32x_4-x_5.\]

Из первого уравнения:

\[x_1=-2x_2+7x_3-x_4+x_5.\]

Подставляя найденные выражения, получаем:

\[x_1=2x_4+2x_5+7(-x_4-2x_5)-x_4+x_5=-6x_4-11x_5.\]

Пусть \(x_4=s\), \(x_5=t\). Тогда общее решение:

\[\begin{cases}x_1=-6s-11t,\\x_2=-\frac32s-t,\\x_3=-s-2t,\\x_4=s,\\x_5=t,\end{cases}\qquad s,t\in\mathbb R.\]

Или в векторной форме:

\[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}-6\\-\frac32\\-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-11\\-1\\-2\\0\\1\end{pmatrix}.\]

Ответ: \(x=(-6s-11t,\,-\frac32s-t,\,-s-2t,\,s,\,t)\), где \(s,t\in\mathbb R\).