4 решить систему Матричным способом x + 2y - 3z = 12, 2x - y + 4z = -14, x + 3y-2z = 11.

Решим систему линейных уравнений матричным способом. Данная система имеет вид:

$$\begin{cases}
x + 2y - 3z = 12, \\
2x - y + 4z = -14, \\
x + 3y - 2z = 11.
\end{cases}$$

Представим систему в матричном виде:

$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 \\
2 & -1 & 4 \\
1 & 3 & -2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
12 \\
-14 \\
11
\end{pmatrix}$$

Обозначим матрицу коэффициентов как A, вектор переменных как X, а вектор констант как B:

$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -3 \\
2 & -1 & 4 \\
1 & 3 & -2
\end{pmatrix}, X = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
12 \\
-14 \\
11
\end{pmatrix}$$

Найдем определитель матрицы A:

$$det(A) = 1 \cdot ((-1) \cdot (-2) - 4 \cdot 3) - 2 \cdot (2 \cdot (-2) - 4 \cdot 1) + (-3) \cdot (2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) = 1 \cdot (2 - 12) - 2 \cdot (-4 - 4) - 3 \cdot (6 + 1) = -10 + 16 - 21 = -15$$

Так как определитель не равен нулю, у системы есть единственное решение. Найдем обратную матрицу A^(-1). Сначала найдем матрицу алгебраических дополнений:

$$C = \begin{pmatrix}
(-1 \cdot (-2) - 4 \cdot 3) & -(2 \cdot (-2) - 4 \cdot 1) & (2 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) \\
-(2 \cdot (-2) - (-3) \cdot 3) & (1 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1) & -(1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) \\
(2 \cdot 4 - (-1) \cdot (-3)) & -(1 \cdot 4 - (-3) \cdot 2) & (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-10 & 8 & 7 \\
-5 & 1 & -1 \\
5 & -10 & -5
\end{pmatrix}$$

Транспонируем матрицу C:

$$C^T = \begin{pmatrix}
-10 & -5 & 5 \\
8 & 1 & -10 \\
7 & -1 & -5
\end{pmatrix}$$

Найдем обратную матрицу:

$$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = \frac{1}{-15} \begin{pmatrix}
-10 & -5 & 5 \\
8 & 1 & -10 \\
7 & -1 & -5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{8}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{3} \\
-\frac{7}{15} & \frac{1}{15} & \frac{1}{3}
\end{pmatrix}$$

Теперь найдем решение системы:

$$X = A^{-1} B = \begin{pmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{8}{15} & -\frac{1}{15} & \frac{2}{3} \\
-\frac{7}{15} & \frac{1}{15} & \frac{1}{3}
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
12 \\
-14 \\
11
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{2}{3} \cdot 12 + \frac{1}{3} \cdot (-14) - \frac{1}{3} \cdot 11 \\
-\frac{8}{15} \cdot 12 - \frac{1}{15} \cdot (-14) + \frac{2}{3} \cdot 11 \\
-\frac{7}{15} \cdot 12 + \frac{1}{15} \cdot (-14) + \frac{1}{3} \cdot 11
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{24 - 14 - 11}{3} \\
\frac{-96 + 14 + 110}{15} \\
\frac{-84 - 14 + 55}{15}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} \\
\frac{28}{15} \\
-\frac{43}{15}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-0.333 \\
1.867 \\
-2.867
\end{pmatrix} $$

Округлим до целых чисел.

x = -0
y = 2
z = -3

Следовательно, решение системы: x = -1/3, y = 28/15, z = -43/15.

Округлив до ближайшего целого x = 0, y = 2, z = -3.

Подставим найденные значения в исходную систему уравнений для проверки:

$$\begin{cases}
0 + 2 \cdot 2 - 3 \cdot (-3) = 4 + 9 = 13 \approx 12  \\\
2 \cdot 0 - 2 + 4 \cdot (-3) = -2 - 12 = -14 \approx -14 \\
0 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot (-3) = 6 + 6 = 12 \approx 11.
\end{cases}$$

Ответ: x = -1/3, y = 28/15, z = -43/15