Решить систему методом подстановки, сложения или графически

Решение системы уравнений

В данном задании представлены три системы уравнений:

1. 
   

   Система I:

   
   

   \[
   \begin{cases}
   x + y = 1 \\
   x - y = 2
   \end{cases}
   \]

   
   

   Метод решения: Сложение

   
   
   
   
   1. Сложим первое уравнение со вторым:
      (x + y) + (x - y) = 1 + 2
2x = 3
      \[ x = \frac{3}{2} \]
   
   
   2. Подставим значение x в первое уравнение:
      \[ \frac{3}{2} + y = 1 \]\[ y = 1 - \frac{3}{2} \]\[ y = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \]\[ y = -\frac{1}{2} \]
   
   
   
   

   Ответ:\[ \left( \frac{3}{2}; -\frac{1}{2} \right) \]

   
   


2. 
   

   Система II:

   
   

   \[
   \begin{cases}
   x + y = 2 \\
   y = 3x
   \end{cases}
   \]

   
   

   Метод решения: Подстановка

   
   
   
   
   1. Подставим выражение для y из второго уравнения в первое:
      \[ x + (3x) = 2 \]\[ 4x = 2 \]\[ x = \frac{2}{4} \]\[ x = \frac{1}{2} \]
   
   
   2. Найдем y, подставив значение x во второе уравнение:
      \[ y = 3 \times \frac{1}{2} \]\[ y = \frac{3}{2} \]
   
   
   
   

   Ответ:\[ \left( \frac{1}{2}; \frac{3}{2} \right) \]

   
   


3. 
   

   Система III:

   
   

   \[
   \begin{cases}
   4 - y = |x| \\
   2y = x^2
   \end{cases}
   \]

   
   

   Метод решения: Графический / Подстановка

   
   

   Из второго уравнения выразим y: y = x^2 / 2. Это парабола с вершиной в начале координат.

   
   

   Из первого уравнения выразим y: y = 4 - |x|. Это две прямые, исходящие из точки (0; 4) под углом 45 градусов.

   
   

   Построим графики или найдем точки пересечения подстановкой.

   
   

   Рассмотрим два случая для x:

   
   

   Случай 1: x >= 0, тогда |x| = x.

   
   

   \[
   \begin{cases}
   4 - y = x \\
   y = \frac{x^2}{2}
   \end{cases}
   \]

   
   

   Подставим y из второго уравнения в первое:
   \[ 4 - \frac{x^2}{2} = x \]\[ 8 - x^2 = 2x \]\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

   
   

   Решим квадратное уравнение (дискриминант D = 4 - 4*1*(-8) = 36, \(\sqrt{D} = 6\)):

   
   

   \[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

   
   

   Так как мы рассматриваем случай x >= 0, то x = 2.

   
   

   Найдем y: y = 2^2 / 2 = 4 / 2 = 2.

   
   

   Первое решение: (2; 2)

   
   

   Случай 2: x < 0, тогда |x| = -x.

   
   

   \[
   \begin{cases}
   4 - y = -x \\
   y = \frac{x^2}{2}
   \end{cases}
   \]

   
   

   Подставим y из второго уравнения в первое:
   \[ 4 - \frac{x^2}{2} = -x \]\[ 8 - x^2 = -2x \]\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

   
   

   Решим квадратное уравнение (дискриминант D = 4 - 4*1*(-8) = 36, \(\sqrt{D} = 6\)):

   
   

   \[ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]\[ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

   
   

   Так как мы рассматриваем случай x < 0, то x = -2.

   
   

   Найдем y: y = (-2)^2 / 2 = 4 / 2 = 2.

   
   

   Второе решение: (-2; 2)

   
   

   Примечание: Обратите внимание, что на черновике были указаны точки (0.5; 1.5) и (1.5; -0.5), которые не являются решениями данной системы. Вероятно, они относились к другому заданию.

   
   

   Ответ:\[ \left( 2; 2 \right); \left( -2; 2 \right) \]

   
   

Общий вывод: Мы решили три системы уравнений, используя различные методы: сложение, подстановку и графический метод (с проверкой подстановкой). Особенно внимательно нужно было работать с абсолютным значением в третьей системе.