3. Решить систему, содержащую иррациональные уравнения: √x + 3y + 1 = 2 2x - y + 2 = 7y-6

Ответ: x = 1, y = 0

Пошаговое решение:

1. Первое уравнение системы: \(\sqrt{x + 3y + 1} = 2\)
2. Второе уравнение системы: \(2x - y + 2 = 7y - 6\)
3. Возводим обе части первого уравнения в квадрат: \(x + 3y + 1 = 4\)
4. Получаем: \(x + 3y = 3\)
5. Упрощаем второе уравнение: \(2x - y + 2 = 7y - 6\)
6. Переносим все члены с y в одну сторону, а остальные в другую: \(2x + 2 + 6 = 7y + y\)
7. Упрощаем: \(2x + 8 = 8y\)
8. Делим обе части на 8: \(\frac{2x + 8}{8} = y\)
9. Упрощаем: \(y = \frac{x + 4}{4}\)
10. Подставляем выражение для y из второго уравнения в первое: \(x + 3(\frac{x + 4}{4}) = 3\)
11. Умножаем обе части уравнения на 4: \(4x + 3(x + 4) = 12\)
12. Раскрываем скобки: \(4x + 3x + 12 = 12\)
13. Приводим подобные слагаемые: \(7x = 0\)
14. Получаем: \(x = 0\)
15. Подставляем x = 0 в уравнение \(y = \frac{x + 4}{4}\): \(y = \frac{0 + 4}{4} = 1\)
16. Проверяем полученное решение подстановкой в исходные уравнения:
17. Первое уравнение: \(\sqrt{0 + 3 * 1 + 1} = \sqrt{4} = 2\) (верно)
18. Второе уравнение: \(2 * 0 - 1 + 2 = 7 * 1 - 6\), \(1 = 1\) (верно)
19. Однако проверим еще раз. Упрощаем второе уравнение: 2x - y + 2 = 7y - 6
20. Переносим все члены с y в одну сторону, а остальные в другую: 2x + 2 + 6 = 7y + y
21. Упрощаем: 2x + 8 = 8y
22. Делим обе части на 8: y = (2x + 8) / 8
23. Упрощаем: y = (x + 4) / 4
24. Подставляем выражение для y из второго уравнения в первое: \(\sqrt{x + 3((x + 4) / 4) + 1} = 2\)
25. Возводим в квадрат обе части: x + 3((x + 4) / 4) + 1 = 4
26. x + (3x + 12) / 4 + 1 = 4
27. Домножаем на 4: 4x + 3x + 12 + 4 = 16
28. 7x + 16 = 16
29. 7x = 0
30. x = 0
31. Подставляем x = 0 в уравнение y = (x + 4) / 4: y = (0 + 4) / 4 = 1

Первое уравнение системы: \(\sqrt{x + 3y + 1} = 2\)

Упрощаем второе уравнение: \(2x - y + 2 = 7y - 6\)

Преобразуем второе уравнение: \(8y = 2x + 8\) \(y = \frac{x}{4} + 1\)

Подставляем y в первое уравнение: \(\sqrt{x + 3(\frac{x}{4} + 1) + 1} = 2\)

После упрощения: \(\sqrt{ \frac{7x}{4} + 4} = 2\)

Возводим в квадрат: \(\frac{7x}{4} + 4 = 4\) \( \frac{7x}{4} = 0\)

Получаем: \(x = 0\)

Тогда: \(y = \frac{0}{4} + 1 = 1\)

Ответ: x = 0, y = 1