Решить систему уравнений: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3; x₁ + x₂ + 2x₃ = −4; 4x₁ + x₂ + 4x₃ = −3.

Сложим первое и второе уравнения:

\[3x_1+4x_3=-1.\]

Вычтем удвоенное второе уравнение из третьего:

\[(4x_1+x_2+4x_3)-2(x_1+x_2+2x_3)=-3-2(-4),\]

откуда \(2x_1-x_2=5\). Подставим это в первое уравнение:

\[2x_1-x_2+2x_3=3 \Rightarrow 5+2x_3=3 \Rightarrow x_3=-1.\]

Тогда из \(3x_1+4x_3=-1\):

\[3x_1-4=-1 \Rightarrow x_1=1.\]

Из \(2x_1-x_2=5\):

\[2-x_2=5 \Rightarrow x_2=-3.\]

Проверка: \(2(1)-(-3)+2(-1)=3\), \(1+(-3)+2(-1)=-4\), \(4(1)+(-3)+4(-1)=-3\).

Ответ: \(x_1=1,\ x_2=-3,\ x_3=-1\).