Решить систему уравнений: (3^2x – (0,25)^y = 5 {3^x + (0,5)^y = 5

Решение:

Заметим, что \( 0,25 = (0,5)^2 \) и \( 3^2x = (3^x)^2 \). Обозначим \( a = 3^x \) и \( b = (0,5)^y \).

Тогда система примет вид:

• \( a^2 - b^2 = 5 \)
• \( a + b = 5 \)

Из второго уравнения выразим \( a \): \( a = 5 - b \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( (5 - b)^2 - b^2 = 5 \)

\( 25 - 10b + b^2 - b^2 = 5 \)

\( 25 - 10b = 5 \)

\( 10b = 20 \)

\( b = 2 \)

Теперь найдём \( a \):

\( a = 5 - b = 5 - 2 = 3 \)

Вернёмся к исходным переменным:

• \( 3^x = a = 3 \) \(\implies\) \( x = 1 \)
• \( (0,5)^y = b = 2 \) \(\implies\) \( (1/2)^y = 2 \) \(\implies\) \( 2^{-y} = 2^1 \) \(\implies\) \( -y = 1 \) \(\implies\) \( y = -1 \)

Таким образом, решение системы — \( (1; -1) \).

Ответ: (1; -1).