Решить систему уравнений {3^{2x} - (0,25)^y = 5 {3^x + (0,5)^y = 5 Выберите один ответ: a. (2; 2) b. (1; 0) c. (0; 2) d. (-1; 1) e. (1; -1)

Решение:

Данная система уравнений:

\( \begin{cases} 3^{2x} - (0,25)^y = 5 \\ 3^x + (0,5)^y = 5 \end{cases} \)

Заметим, что \( (0,25)^y = (0,5^2)^y = (0,5)^ {2y} \) и \( 3^{2x} = (3^x)^2 \).

Пусть \( a = 3^x \) и \( b = (0,5)^y \). Тогда система примет вид:

\( \begin{cases} a^2 - b^2 = 5 \\ a + b = 5 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( a \): \( a = 5 - b \).

Подставим это в первое уравнение:

\( (5 - b)^2 - b^2 = 5 \)

\( 25 - 10b + b^2 - b^2 = 5 \)

\( 25 - 10b = 5 \)

\( 10b = 25 - 5 \)

\( 10b = 20 \)

\( b = 2 \)

Теперь найдём \( a \):

\( a = 5 - b = 5 - 2 = 3 \)

Теперь вернёмся к исходным переменным:

\( 3^x = a = 3 \) \( \Rightarrow \) \( x = 1 \)

\( (0,5)^y = b = 2 \) \( \Rightarrow \) \( (1/2)^y = 2 \) \( \Rightarrow \) \( 2^{-y} = 2^1 \) \( \Rightarrow \) \( -y = 1 \) \( \Rightarrow \) \( y = -1 \)

Таким образом, решение системы: \( x = 1, y = -1 \).

Проверим полученное решение, подставив его в исходную систему:

Первое уравнение: \( 3^{2 \cdot 1} - (0,25)^{-1} = 3^2 - (1/4)^{-1} = 9 - 4 = 5 \) (Верно)

Второе уравнение: \( 3^1 + (0,5)^{-1} = 3 + (1/2)^{-1} = 3 + 2 = 5 \) (Верно)

Ответ соответствует варианту e. (1; -1).

Ответ: e. (1; -1).