Решить систему уравнений: 3x² − 8xy + 4y² = 0; x² + y² + 13(x − y) = 0.

Решим систему:

\(\begin{cases}3x^2-8xy+4y^2=0\\x^2+y^2+13(x-y)=0\end{cases}\)

Первое уравнение однородное. Разложим его на множители:

\(3x^2-8xy+4y^2=(3x-2y)(x-2y)\).

Значит,

\((3x-2y)(x-2y)=0\), поэтому возможны два случая.

1) \(3x-2y=0\)

Тогда \(y=\dfrac{3x}{2}\). Подставим во второе уравнение:

\(x^2+\left(\dfrac{3x}{2}\right)^2+13\left(x-\dfrac{3x}{2}\right)=0\).

\(x^2+\dfrac{9x^2}{4}-\dfrac{13x}{2}=0\).

Умножим на \(4\):

\(4x^2+9x^2-26x=0\).

\(13x^2-26x=0\),

\(13x(x-2)=0\).

Отсюда \(x=0\) или \(x=2\).

Если \(x=0\), то \(y=0\).

Если \(x=2\), то \(y=3\).

Получили решения: \((0;0)\), \((2;3)\).

2) \(x-2y=0\)

Тогда \(y=\dfrac{x}{2}\). Подставим во второе уравнение:

\(x^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2+13\left(x-\dfrac{x}{2}\right)=0\).

\(x^2+\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{13x}{2}=0\).

Умножим на \(4\):

\(4x^2+x^2+26x=0\).

\(5x^2+26x=0\).

\(x(5x+26)=0\).

Отсюда \(x=0\) или \(x=-\dfrac{26}{5}\).

Если \(x=0\), то \(y=0\).

Если \(x=-\dfrac{26}{5}\), то \(y=-\dfrac{13}{5}\).

Получили решения: \((0;0)\), \(\left(-\dfrac{26}{5};-\dfrac{13}{5}\right)\).

Ответ: \((0;0)\), \((2;3)\), \(\left(-\dfrac{26}{5};-\dfrac{13}{5}\right)\).