Решить систему уравнений: I) { 2x = 8-3y; 3x = y+1 } II) { 2y = 5-7x; y = 3-3x } III) { 3x+4y-11=0; 5x-2y-14=0 } IV) { 2x=25-7y; x=5-2y } V) { 4x+5y=11; 2x+3y=5 }

Решение:

Эта задача предполагает решение пяти систем линейных уравнений. Разберем каждую по порядку:

Система I:

• Исходная система:
  \[ \begin{cases} 2x = 8-3y \\ 3x = y+1 \end{cases} \]
• Метод подстановки: Выразим y из второго уравнения:
  \[ y = 3x - 1 \]
• Подставим это выражение в первое уравнение:
  \[ 2x = 8 - 3(3x - 1) \]
  \[ 2x = 8 - 9x + 3 \]
  \[ 2x = 11 - 9x \]
  \[ 11x = 11 \]
  \[ x = 1 \]
• Найдем y:
  \[ y = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2 \]
• Ответ для I: (1; 2)

Система II:

• Исходная система:
  \[ \begin{cases} 2y = 5-7x \\ y = 3-3x \end{cases} \]
• Метод подстановки: Подставим второе уравнение в первое:
  \[ 2(3-3x) = 5-7x \]
  \[ 6 - 6x = 5 - 7x \]
  \[ x = -1 \]
• Найдем y:
  \[ y = 3 - 3(-1) = 3 + 3 = 6 \]
• Ответ для II: (-1; 6)

Система III:

• Исходная система:
  \[ \begin{cases} 3x+4y-11=0 \\ 5x-2y-14=0 \end{cases} \]
• Метод сложения: Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:
  \[ \begin{cases} 3x+4y-11=0 \\ 10x-4y-28=0 \end{cases} \]
• Сложим оба уравнения:
  \[ (3x+10x) + (4y-4y) + (-11-28) = 0 \]
  \[ 13x - 39 = 0 \]
  \[ 13x = 39 \]
  \[ x = 3 \]
• Подставим x=3 в первое уравнение:
  \[ 3(3) + 4y - 11 = 0 \]
  \[ 9 + 4y - 11 = 0 \]
  \[ 4y - 2 = 0 \]
  \[ 4y = 2 \]
  \[ y = 0.5 \]
• Ответ для III: (3; 0.5)

Система IV:

• Исходная система:
  \[ \begin{cases} 2x=25-7y \\ x=5-2y \end{cases} \]
• Метод подстановки: Подставим второе уравнение в первое:
  \[ 2(5-2y) = 25-7y \]
  \[ 10 - 4y = 25 - 7y \]
  \[ 3y = 15 \]
  \[ y = 5 \]
• Найдем x:
  \[ x = 5 - 2(5) = 5 - 10 = -5 \]
• Ответ для IV: (-5; 5)

Система V:

• Исходная система:
  \[ \begin{cases} 4x+5y=11 \\ 2x+3y=5 \end{cases} \]
• Метод сложения: Умножим второе уравнение на -2:
  \[ \begin{cases} 4x+5y=11 \\ -4x-6y=-10 \end{cases} \]
• Сложим оба уравнения:
  \[ (4x-4x) + (5y-6y) + (11-10) = 0 \]
  \[ -y + 1 = 0 \]
  \[ y = 1 \]
• Подставим y=1 в первое уравнение:
  \[ 4x + 5(1) = 11 \]
  \[ 4x + 5 = 11 \]
  \[ 4x = 6 \]
  \[ x = 1.5 \]
• Ответ для V: (1.5; 1)

Итоговый ответ:

• Система I: (1; 2)
• Система II: (-1; 6)
• Система III: (3; 0.5)
• Система IV: (-5; 5)
• Система V: (1.5; 1)