Решить систему уравнений: {|x + 1| + 2y = 1, x + y = 5

Решение:

Дана система уравнений:

\( \begin{cases} |x + 1| + 2y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases} \)

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 5 - x \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\( |x + 1| + 2(5 - x) = 1 \)

\( |x + 1| + 10 - 2x = 1 \)

\( |x + 1| = 2x - 9 \)

Рассмотрим два случая для модуля \( |x + 1| \):

1. Случай 1: \( x + 1 \geq 0 \) (т.е. \( x \geq -1 \))
• Уравнение принимает вид: \( x + 1 = 2x - 9 \)
• \( 1 + 9 = 2x - x \)
• \( x = 10 \)
• Проверяем условие \( x \geq -1 \): \( 10 \geq -1 \) — верно.
• Найдем \( y \): \( y = 5 - x = 5 - 10 = -5 \).
• Решение: \( (10; -5) \).
2. Случай 2: \( x + 1 < 0 \) (т.е. \( x < -1 \))
• Уравнение принимает вид: \( -(x + 1) = 2x - 9 \)
• \( -x - 1 = 2x - 9 \)
• \( -1 + 9 = 2x + x \)
• \( 8 = 3x \)
• \( x = \frac{8}{3} \)
• Проверяем условие \( x < -1 \): \( \frac{8}{3} < -1 \) — неверно, так как \( \frac{8}{3} \) положительное число.
• Таким образом, этот случай не дает решений.

Проверим найденное решение \( (10; -5) \) в исходной системе:

• Первое уравнение: \( |10 + 1| + 2(-5) = |11| - 10 = 11 - 10 = 1 \) — верно.
• Второе уравнение: \( 10 + (-5) = 5 \) — верно.

Ответ: (10; -5).