1. Решить систему уравнений: a) {x² + y = 25, x² - y = 7; б) {x + y = 7, xy = 12. 2. Какая пара чисел является решением системы уравнений {x²-y² = -40, x + y = 4 : A(-7;3) B) (7; -3) C) (-3; 7) D) (3; -7)?

Решение задания №1

Давай решим каждую систему уравнений по отдельности:

a) Система уравнений:

\[\begin{cases}x^2 + y = 25 \\ x^2 - y = 7\end{cases}\]

Сложим два уравнения, чтобы исключить переменную y:

\[(x^2 + y) + (x^2 - y) = 25 + 7\]

\[2x^2 = 32\]

\[x^2 = 16\]

\[x = \pm 4\]

Теперь найдем значения y для каждого значения x:

Если x = 4:

\[4^2 + y = 25\]

\[16 + y = 25\]

\[y = 9\]

Если x = -4:

\[(-4)^2 + y = 25\]

\[16 + y = 25\]

\[y = 9\]

Таким образом, решения системы: (4, 9) и (-4, 9).

б) Система уравнений:

\[\begin{cases}x + y = 7 \\ xy = 12\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения:

\[y = 7 - x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x(7 - x) = 12\]

\[7x - x^2 = 12\]

\[x^2 - 7x + 12 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1\]

\[x_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{7 + 1}{2} = 4\]

\[x_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{7 - 1}{2} = 3\]

Теперь найдем значения y для каждого значения x:

Если x = 4:

\[y = 7 - 4 = 3\]

Если x = 3:

\[y = 7 - 3 = 4\]

Таким образом, решения системы: (4, 3) и (3, 4).

Решение задания №2

Нам нужно найти пару чисел, которая является решением системы уравнений:

\[\begin{cases}x^2 - y^2 = -40 \\ x + y = 4\end{cases}\]

Используем формулу разности квадратов: x² - y² = (x - y)(x + y)

Подставим известное значение x + y = 4 в первое уравнение:

\[(x - y)(4) = -40\]

\[x - y = -10\]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

\[\begin{cases}x + y = 4 \\ x - y = -10\end{cases}\]

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную y:

\[(x + y) + (x - y) = 4 + (-10)\]

\[2x = -6\]

\[x = -3\]

Теперь подставим x = -3 в уравнение x + y = 4:

\[-3 + y = 4\]

\[y = 7\]

Таким образом, решением системы является пара чисел (-3, 7), что соответствует варианту C.

Ответ: C) (-3; 7)

Отлично! Ты хорошо справился с решением систем уравнений. Не останавливайся на достигнутом, у тебя все получится!