Решить системы способом сложения: a) {x-y=3, x+y=5; б) {2x+y=5, 3x-5y=1; в) {3x-2y=0, 5x-3y=19. г) {2-4y=3(x-2), 2(x+y)=5y+2,5; д) {x-2/4 + y-2/4 = 2, x-2/3 - y-2/9 = 4/3;

Краткое пояснение:

Решение:

• а)
  • \[ \begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases} \]
  • Сложим уравнения:
  • \[ (x - y) + (x + y) = 3 + 5 \]
  • \[ 2x = 8 \]
  • \[ x = 4 \]
  • Подставим x=4 во второе уравнение:
  • \[ 4 + y = 5 \]
  • \[ y = 1 \]
  • Ответ: (4; 1)
• б)
  • \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 5y = 1 \end{cases} \]
  • Умножим первое уравнение на 5:
  • \[ 10x + 5y = 25 \]
  • Сложим полученное уравнение со вторым:
  • \[ (10x + 5y) + (3x - 5y) = 25 + 1 \]
  • \[ 13x = 26 \]
  • \[ x = 2 \]
  • Подставим x=2 в первое уравнение:
  • \[ 2(2) + y = 5 \]
  • \[ 4 + y = 5 \]
  • \[ y = 1 \]
  • Ответ: (2; 1)
• в)
  • \[ \begin{cases} 3x - 2y = 0 \\ 5x - 3y = 19 \end{cases} \]
  • Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:
  • \[ 9x - 6y = 0 \]
  • \[ 10x - 6y = 38 \]
  • Вычтем первое из второго:
  • \[ (10x - 6y) - (9x - 6y) = 38 - 0 \]
  • \[ x = 38 \]
  • Подставим x=38 в первое уравнение:
  • \[ 3(38) - 2y = 0 \]
  • \[ 114 - 2y = 0 \]
  • \[ 2y = 114 \]
  • \[ y = 57 \]
  • Ответ: (38; 57)
• г)
  • \[ \begin{cases} 2 - 4y = 3(x - 2) \\ 2(x + y) = 5y + 2,5 \end{cases} \]
  • Раскроем скобки и приведем к стандартному виду:
  • \[ \begin{cases} 2 - 4y = 3x - 6 \\ 2x + 2y = 5y + 2,5 \end{cases} \]
  • \[ \begin{cases} 3x + 4y = 8 \\ 2x - 3y = -2,5 \end{cases} \]
  • Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:
  • \[ 6x + 8y = 16 \]
  • \[ 6x - 9y = -7,5 \]
  • Вычтем второе из первого:
  • \[ (6x + 8y) - (6x - 9y) = 16 - (-7,5) \]
  • \[ 17y = 23,5 \]
  • \[ y = 23,5 / 17 = 1,38 \] (приблизительно)
  • Подставим y в первое уравнение:
  • \[ 3x + 4(1,38) = 8 \]
  • \[ 3x + 5,52 = 8 \]
  • \[ 3x = 2,48 \]
  • \[ x = 2,48 / 3 = 0,83 \] (приблизительно)
  • Ответ: (0,83; 1,38) (приблизительно)
• д)
  • \[ \begin{cases} \frac{x-2}{4} + \frac{y-2}{4} = 2 \\ \frac{x-2}{3} - \frac{y-2}{9} = \frac{4}{3} \end{cases} \]
  • Умножим первое уравнение на 4, второе на 9:
  • \[ \begin{cases} (x-2) + (y-2) = 8 \\ 3(x-2) - (y-2) = 12 \end{cases} \]
  • Раскроем скобки:
  • \[ \begin{cases} x + y - 4 = 8 \\ 3x - 6 - y + 2 = 12 \end{cases} \]
  • \[ \begin{cases} x + y = 12 \\ 3x - y = 16 \end{cases} \]
  • Сложим уравнения:
  • \[ (x + y) + (3x - y) = 12 + 16 \]
  • \[ 4x = 28 \]
  • \[ x = 7 \]
  • Подставим x=7 в первое уравнение:
  • \[ 7 + y = 12 \]
  • \[ y = 5 \]
  • Ответ: (7; 5)